「题解」Codeforces 1863G Swaps

看成内向基环森林，操作 \(u\to v\) 相当于让 \(u\) 连向 \(v\) 所连的点，\(v\) 变成自环。发现如果一个点 \(v\) 变成了自环，那么操作任意一个 \(u\to v\) 都没有用。

从简单的情形出发，对于一个内向树（或者说环大小为 \(1\) 的内向基环树），每次操作 \(x\to fa_x\) 时，相当于让 \(fa_x\) 变成一个自环，然后 \(x\) 的父亲就变成了 \(fa_{fa[x]}\)，并且 \(fa_x\) 其它子树往上连的边再也不能跨过 \(fa_x\)．于是想到用树链剖分去对应操作出来的一张图。对于一条树链，让链底连向链顶的父亲，非链底的节点都是自环。

于是每次操作 \(x\) 的时候，如果 \(x\) 是链底并且链顶的父亲还没有重儿子，那么将链顶到父亲的这条边设为重边，否则什么也不干（对应 \(x\) 是自环或 \(x\) 连向了一个自环）。于是这样完成了链剖分方案与一张合法图方案的双射。这里有个问题是根已经是自环了，所以不能它不能有重边连下去。于是方案数就是除了根以外的度数 +1 之积 \(\prod(d_i+1)\)．

现在考虑环很大，依然想要让它去对应链剖分的情况。当环上全是重边的时候定义其表示环上所有点都是自环。

但是这个时候发现有计重的情况，当环上只有一条边不是重边的时候会出现这样的计重：

环上点的入边轻重选取方案将所有左侧的这种情况减去即可，也就是减去 \(\sum_{u\in circle}d_u\)．所以答案就是 \(\prod_{circle}(\prod_{u\in circle}(d_u+1)-\sum_{u\in circle}d_u)\prod_{u\notin circle}(d_u+1)\)