一类堆贪心前 k 优方案题

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求组合前 k 大用堆贪心，需要构造转移使得状态之间成为一个外向树，并且转移不重不漏，而且一个状态的后继很少。这样用堆贪心贪出来即可。

P1

给定非负整数构成的多重集，求前 $k$ 小子集和。

从小往大排序，想用“先移动最右边的到指定位置，再移动最左边的到指定位置......”这个策略去描述状态的转移。首先选把选了前 $i$ 个的状态 push 到堆里面。发现描述转移的时候需要记录的信息有：前缀 $[1,x]$ 还没有移动，当前正在移动的物品位于 $y$，上个物品停在了 $z$．转移就是 $y$ 继续往后一格但是不能越过 $z$，或者 $y$ 彻底停住再去移动 $x$．

P2

$n$ 个正整数数组，一个方案的代价是每个数组里面恰好选一个数再求和，求前 $k$ 小的方案的代价。P2541。

设计策略是挨个数组确定选第几个。也就是 $(pos,x)$ 表示选到了第 $pos$ 个数组，当前这个数组选的是第 $x$ 个人．但是发现计重了，$(2,1,1)$ 被 $(2,1)$ 和 $(3,1)$ 两个都算到了。原因在于 $x$ 可以为 $1$，但是后缀还没决策的数组选的全是 $1$，于是对于一个状态来说无法唯一确定它的 $pos$．

于是强制让 $x\geq 2$，那么转移就分三种：

• 当前数组从第 $x$ 个换成第 $x+1$ 个；
• 换到下一个数组，从第 $2$ 个开始选；
• 如果当前 $x=2$，说明可以撤销回 $x=1$，然后从下一个数组的第 $2$ 个开始选。

为了让第三个转移非负，按照 $a_2-a_1$ 将所有 $a$ 排序即可。

除了全选第一个的最优解以外，其余的均能转移到并且仅被转移一次（按照这个策略去尝试把一个状态凑出来，只有一种方案）。

P3

P2 改成每个数组要选数量在 $[L_i,R_i]$ 中的若干个数。P6646。

对于单个数组，用 P1 中的方法已经可以求出前 $k$ 小的方案，看成一个黑箱，结合 P2 做法即可。

P4

给定非负整数 $a$，对于排列 $p$ 代价为 $\sum a_ip_i$，求前 $k$ 小的代价和。

最优就是 $a$ 降序排序之后 $p_i=i$，然后考虑一个排列从后往前插排去得到。这个时候状态记录 $(p,x)$ 为现在从后往前插排在将 $p$ 往后移动移到了第 $x$ 个位置。同 P2 中的问题一样，当 $p=x$ 的时候会出现问题，但是套用 P2 中的做法，先强制 $x>p$，然后再考虑撤销往前也不行，因为这里并不像 P2 中一样可以交换数组之间顺序使得转移非负。

这里转移非负的问题就在于，为了剪枝掉后继个数，当前的 $p$ 已经插排完毕，选择下一个进行插排的 $p$ 的时候想直接通过对 $p=x$ 的状态进行撤销再选择另一个 $p$（形象一点的描述就是，运用了儿子兄弟表示法）。思路往回推，记录当前已经插排完毕的是哪个 $p$，选择下一个 $p$ 的时候从最优开始，最优完了再找次优，次优完了再往后找...

于是记录 $pre$ 表示已经考虑完了 $>pre$ 的所有位置，$[1,pre]$ 还没有尝试插排。现在有 $pre=p-1$．如果继续移动 $p$ 那么直接正常做；如果当前的 $p$ 移动完了，去找下一个 $p$，对 $[1,pre]$ 里面每个 $i$ 记录 $f_i$ 表示下一个交换 $i$ 多出来的代价是多少，那么找 $f$ 最小的那个位置当作下一个 $p$，此时让 pre 不变。

那么当 $pre\geq p$ 的时候就意味着当前状态的 $p$ 是尝试新开一个 $p$ 得到的状态，那么它的转移就多了一个撤销当前的 $p$，尝试比它次优的那个 $p$，于是需要找到按 $f$ 排序之后它的后继。只有 $f_{pre}$ 不是 $a_{pre+1}-a_{pre}$，其余的 $f_i$ 均为 $a_{i+1}-a_i$，所以尝试新的 $p$ 的时候单独把 $pre$ 作为一个转移拎出来，现在 $f_i=a_{i+1}-a_i$，所以直接在主席树上二分即可找到后继。

整理一下现在的转移：

当 $pre=p-1$ 时：

1. 继续移动 $p$，此时 $x\gets x+1$，$pre$ 被强制更新为 $p-1$；
2. 选择下一个 $p'$，并且选择的就是 $p-1$，此时 $pre$ 被强制更新为 $p-2$;
3. 选择下一个 $p'$，选择的是 $[1,pre)$ 中的，此时 $p'$ 应选择 $f$ 最小的，$pre$ 不变。

当 $pre\geq p$ 时：

1. 同上；
2. 同上；
3. 类似，选择下一个 $p'$，选择的是 $[1,p-1)$ 中的，此时 $p'$ 应选择 $f$ 最小的，然后 $pre$ 被更新为 $p-1$．
4. 撤销当前选的 $p$，$p'$ 选为 $[1,pre]$ 里面选当前的 $f$ 的后继，$pre$ 不变。

还需要维护各个转移需要的代价，由于只有交换操作，所以用个可持久化线段树就行了。