BEST 定理

BEST 定理。

从 \(s\) 出发的欧拉回路个数。选出一个内向树，对于 \(u\) 指定父边作为从 \(u\) 离开的最后一条边。再对所有节点剩余的出边随意定一个顺序，方案数是：

\[T_s\times out_s!\prod_{i\neq s}(out_i-1)! \]

其中 \(T_s\) 是 \(s\) 为根的内向树个数，\(out_i\) 是 \(i\) 的出度。

• 这个方案去对应欧拉回路，去证明每删掉一条边依然满足存在欧拉路径的条件（点度数符合条件，有邻边的点之间是弱连通的）
• 欧拉回路来对应这个方案，去证明最后离开的边不会成环。

如果算整张图的欧拉路径，考虑整张图一条欧拉路径 \(s\) 出现了 \(out_s\) 次，对于每次出现都计算了一次。所以上式直接除掉 \(out_s\) 即得：

\[T_s\prod(out_i-1)! \]

诶，对于存在欧拉回路的图，以每个点为根的内向树个数是相同的。