BEST 定理

BEST 定理。

从 $s$ 出发的欧拉回路个数。选出一个内向树，对于 $u$ 指定父边作为从 $u$ 离开的最后一条边。再对所有节点剩余的出边随意定一个顺序，方案数是：

$$T_s\times out_s!\prod_{i\neq s}(out_i-1)!$$

其中 $T_s$ 是 $s$ 为根的内向树个数，$out_i$ 是 $i$ 的出度。

• 这个方案去对应欧拉回路，去证明每删掉一条边依然满足存在欧拉路径的条件（点度数符合条件，有邻边的点之间是弱连通的）
• 欧拉回路来对应这个方案，去证明最后离开的边不会成环。

如果算整张图的欧拉路径，考虑整张图一条欧拉路径 $s$ 出现了 $out_s$ 次，对于每次出现都计算了一次。所以上式直接除掉 $out_s$ 即得：

$$T_s\prod(out_i-1)!$$

诶，对于存在欧拉回路的图，以每个点为根的内向树个数是相同的。