周期引理的代数证明

翻译自 https://zhuanlan.zhihu.com/p/85169630

字符串是 0-index．

周期引理：对于长为 $n$ 的字符串 $s$，如果 $p,q$ 均为 $s$ 的周期，并且 $p+q-\gcd(p,q)\leq n$，那么 $\gcd(p,q)$ 也是 $s$ 的周期。

定义 $s_p(i)=s_{i\bmod p},s_q(i)=s_{i\bmod p}$，用生成函数来描述它，对于每个字符赋一个互不相等的权值作为系数，那么 $s_p(x)=\frac{P(x)}{1-x^p},s_q(x)=\frac{Q(x)}{1-x^q}$，其中 $P(x)$ 是 $p-1$ 次多项式，$Q(x)$ 是 $q-1$ 次多项式。

想要验证 $s_p(x)$ 和 $s_q(x)$ 完全相同，将两者作差得到 $s_p(x)-s_q(x)=\frac{1-x^{\gcd(p,q)}}{(1-x^p)(1-x^q)}\left(\frac{1-x^q}{1-x^{\gcd(p,q)}}P(x)+\frac{1-x^p}{1-x^{\gcd(p,q)}}Q(x)\right)=\frac{1-x^{\gcd(p,q)}}{(1-x^p)(1-x^q)}H(x)$，容易长除法验证 $(1-x^{\gcd(p,q)})$ 是 $(1-x^p)$ 和 $(1-x^q)$ 的因式。

右边两个都是 $p+q-\gcd(p,q)-1$ 次多项式，而左边是常数项不为 $0$ 的多项式。由于 $p,q$ 均为 $s$ 的周期那么 $s_p(x)$ 和 $s_q(x)$ 的 $[0,n-1]$ 的各项系数都相同，那么 $s_p(x)-s_q(x)$ 最低 $n$ 项系数均为 $0$，由于 $p+q-\gcd(p,q)-1\leq n-1$，如果 $H(x)$ 不为 $0$，那么和 $\frac{1-x^{\gcd(p,q)}}{(1-x^p)(1-x^q)}$ 的常数项一乘就得到了 $\leq n-1$ 项的不为 0 的系数。所以得出 $H(x)=0$．

于是我们知道 $s_p(x)$ 与 $s_q(x)$ 完全相同，假设其为 $f(x)$，$p,q$ 同时为其周期。而根据裴蜀定理，方程 $p\cdot u+q\cdot v=\gcd(u,v)$ 存在整数解，从而有 $s_i=f(i)=f(i+p\cdot u)=f(i+p\cdot u+q\cdot v)=f(i+\gcd(p,q))=s_{i+\gcd(p,q)}$，周期引理得证。