「题解」AGC034F RNG and XOR

\(f_i\) 为变成 \(i\) 的期望步数，那么 \(f_0=0\)，\(f_i=1+\sum_{j=0}^{2^n-1}f_j\cdot p_{i\oplus j}\)，理解为从 \(i\) 走到 \(0\) 的期望步数即可。

尝试用集合幂级数描述这个东西，如果不管 \(f_0\) 那么就是 \(F=F\times P+I\)，其中乘法定义为异或卷积，\(I=\{1,1,\cdots\}\)，但 \(p\) 总和为 \(1\) 所以 \(F\) 系数和与 \(F\times P\) 系数和应该相等，所以应为 \(F=F\times P+I-2^n\)，那么 \(F=(I-2^n)/(1-P)\)．

如果直接 \([x^i]FWT(F)=[x^i](I-2^n)/[x^i](1-P)\)，主要问题在于 \([x^0]FWT(1-P)=0\)（所有概率和为 1），所以无法正确得到 \([x^0]FWT(F)\) 的值。

但考虑将 \([x^0]FWT(F)\) 增加 \(k\) 相当于给 \([x^i]F\) 增加 \(\frac{1}{2^n}(-1)^{|0\& i|}k\)，也就是整体加一个常数，那么按照之前的式子求出来的东西，每一位都减去 \([x^0]\) 的值即可完成修正。

#include<cstdio>
#include<vector>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<ctime>
#include<random>
#include<assert.h>
#define pb emplace_back
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define dbg(x) cerr<<"In Line "<< __LINE__<<" the "<<#x<<" = "<<x<<'\n'
#define dpi(x,y) cerr<<"In Line "<<__LINE__<<" the "<<#x<<" = "<<x<<" ; "<<"the "<<#y<<" = "<<y<<'\n'
#define DE(fmt,...) fprintf(stderr, "Line %d : " fmt "\n",__LINE__,##__VA_ARGS__)
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int>pii;
typedef pair<ll,int>pli;
typedef pair<ll,ll>pll;
typedef pair<int,ll>pil;
typedef vector<int>vi;
typedef vector<ll>vll;
typedef vector<pii>vpii;
typedef vector<pll>vpll;
template<typename T>T cmax(T &x, T y){return x=x>y?x:y;}
template<typename T>T cmin(T &x, T y){return x=x<y?x:y;}
template<typename T>
T &read(T &r){
	r=0;bool w=0;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9')w=ch=='-'?1:0,ch=getchar();
	while(ch>='0'&&ch<='9')r=r*10+(ch^48),ch=getchar();
	return r=w?-r:r;
}
template<typename T1,typename... T2>
void read(T1 &x,T2& ...y){read(x);read(y...);}
const int mod=998244353;
inline void cadd(int &x,int y){x=(x+y>=mod)?(x+y-mod):(x+y);}
inline void cdel(int &x,int y){x=(x-y<0)?(x-y+mod):(x-y);}
inline int add(int x,int y){return (x+y>=mod)?(x+y-mod):(x+y);}
inline int del(int x,int y){return (x-y<0)?(x-y+mod):(x-y);}
int qpow(int x,int y){
	int s=1;
	while(y){
		if(y&1)s=1ll*s*x%mod;
		x=1ll*x*x%mod;
		y>>=1;
	}
	return s;
}
const int N=(1<<18)+10;
inline int all(int x){return (1<<x)-1;}
inline int bit(int x){return 1<<x;}
void FWT(int *f,int n){
	for(int i=0;i<n;i++)
		for(int S=0;S<(1<<n);S++)
			if(!(bit(i)&S)){
				int u=f[S],v=f[S^bit(i)];
				f[S]=add(u,v);f[S^bit(i)]=del(u,v);
			}
}
void IFWT(int *f,int n){
	for(int i=0;i<n;i++)
		for(int S=0;S<(1<<n);S++)
			if(!(bit(i)&S)){
				int u=f[S],v=f[S^bit(i)];
				f[S]=499122177ll*add(u,v)%mod;f[S^bit(i)]=499122177ll*del(u,v)%mod;
			}
}
int n;
int p[N],f[N],sum;
signed main(){
	#ifdef do_while_true
//		assert(freopen("data.in","r",stdin));
//		assert(freopen("data.out","w",stdout));
	#endif
	read(n);
	for(int i=0;i<(1<<n);i++){
		cadd(sum,read(p[i]));
		f[i]=1;
	}
	sum=qpow(sum,mod-2);
	for(int i=0;i<(1<<n);i++)p[i]=del(0,1ll*p[i]*sum%mod);
	cadd(p[0],1);
	FWT(p,n);
	cdel(f[0],qpow(2,n));
	FWT(f,n);
	for(int i=0;i<(1<<n);i++)
		f[i]=1ll*f[i]*qpow(p[i],mod-2)%mod;
	IFWT(f,n);
	for(int i=0;i<(1<<n);i++)cout << del(f[i],f[0]) << '\n';
    #ifdef do_while_true
//		cerr<<'\n'<<"Time:"<<1.0*clock()/CLOCKS_PER_SEC*1000<<" ms"<<'\n';
	#endif
	return 0;
}