「题解」BZOJ 4321 queue2

在硬盘里翻到了当时没推完的这个题，今天补完了最后几步。

题目链接：https://hydro.ac/d/bzoj/p/4321

对任意相邻两个元素差的绝对值不为 $1$ 的 $n$ 阶排列计数。

$\mathcal{O}(n^2)$ 做法是考虑按照值域由小到大逐步插入，记录 $f_{i,j}$ 为长度为 $i$ 的排列，一共有 $j$ 对冲突的。每次考虑插入下一个数，发现还要记录一维当前 $i$ 和 $i-1$ 是否相邻这个信息，然后就能转移了。

然后下面是 $\mathcal{O}(n)$ 的做法。

首先考虑容斥，首先将排列划分成若干极长的值域连续段，如果一段长度为 $1$ 那么其容斥系数为 $1$，否则长度为 $k$ 的连续段容斥系数为 $2\times (-1)^{k-1}$，这里要乘 $2$ 是因为有上升和下降两种方式。考虑其 OGF $F(x)=x-2x^2+2x^3-2x^4+\cdots=x(\frac{2}{1+x}-1)=x\frac{1-x}{1+x}$，枚举一共有 $n$ 段，即得答案的 OGF $H(x)=\sum_{n\geq 0}x^n(\frac{1-x}{1+x})^n$，首先如果令 $G(x)=\sum_{n\geq 0}n!x^n$，其为超几何函数，微分有限，而 $F$ 是代数形式幂级数，从而 $H=G(F)$ 微分有限，存在整式递推。

手算一下！

$$\begin{aligned} G'(x)=\sum_{n\geq 0}n!x^{n-1}n\\ x^2G'(x)=\sum_{n\geq 0}n!x^{n+1}n\\ x^2G'(x)+\sum_{n\geq 0}n!x^{n+1}=\sum_{n\geq 1}n!x^{n}\\ x^2G'+xG=G-1\\ x^2G'+(x-1)G+1=0 \end{aligned}$$

凑出这个之后，将 $F(x)$ 代入 $x$，然后整体乘 $F'(x)=\frac{\mathrm{d}F(x)}{\mathrm{d}x}$ 把 $H'$ 凑出来。

$$\begin{aligned} x^2\frac{\text dG(x)}{\text dx}+(x-1)G+1=0 \\ F(x)^2\frac{\mathrm{d}G(F(x))}{\mathrm{d}x}+(F(x)-1)G(F(x))F'(x)+F'(x)=0 \\ F(x)^2H'(x)+(F(x)-1)H(x)F'(x)+F'(x)=0 \end{aligned}$$

其中 $F(x)=x\frac{1-x}{1+x},F'(x)=-\frac{x^2+2x-1}{(1+x)^2}$，代入进去并整理可得：

$$\begin{aligned} x^2\frac{(1-x)^2}{(1+x)^2}H'(x)=\frac{-x^4-2x^3-2x+1}{(1+x)^3}H(x)+\frac{x^2+2x-1}{(1+x)^2}\\ (x^5-x^4-x^3+x^2)H'(x)=(-x^4-2x^3-2x+1)H(x)+(x^3+3x^2+x-1) \end{aligned}$$

$n\geq 4$ 时左右两边提取 $[x^n]$ 可得：

$$(n-4)h_{n-4}-(n-3)h_{n-3}-(n-2)h_{n-2}+(n-1)h_{n-1}=-h_{n-4}-2h_{n-3}-2h_{n-1}+h_n$$

即得整式递推：

$$h_{n}=(n+1)h_{n-1}-(n-2)h_{n-2}-(n-5)h_{n-3}+(n-3)h_{n-4}$$

代码。