概率

条件概率

在事件 $A$ 发生的条件下，事件 $B$ 发生的概率，记作 $P(B|A)$．

条件概率公式：$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$

概率乘法公式：$P(AB)=P(A)P(B|A)$

若 $A_1,\cdots,A_n$ 不交且并为样本空间 $\Omega$．

全概率公式：$P(B)=\sum P(A_i)P(B|A_i)$，$B$ 的概率等于它在若干个分区概率的总和。

贝叶斯公式：

$$P(A_i|B)=\frac{P(A_iB)}{P(B)}=\frac{P(A_i)P(B|A_i)}{\sum P(A_j)P(B|A_j)}$$

锐评：在实际应用中大概都是直觉上的，画维恩图都很好理解。

随机变量

现在有一个随机变量 $X$，设其分布函数为 $F(x)=P(X\leq x)$．

连续型随机变量考察 $P(X=x)$ 通常是没有意义的，比如 $X$ 是分布在 $[0,1]$ 上的随机变量，$P(X=\frac{1}{2})=0$．

定义其密度函数 $f$ 满足：

$$F(x)=\int _{-\infty}^xf(x)\text dx$$

为啥叫密度函数，它描述了某个点右侧概率 / 长度的极限，确实像是概率在这个点处的“密度”这个感觉。

期望

$$E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)x\text dx$$

线性性，以及独立的时候 $E(XY)=E(X)E(Y)$ 这些都是用得很熟的了。

方差

描述的随机变量的离散程度。

$$D(x)=E^2(X-E(X))$$

性质：

• $D(aX+b)=a^2D(X)$
• $D(X)=E(X^2)-E^2(X)$

Trick

$X$ 是离散型随机变量：

$$\begin{aligned} E(X)&=\sum_{x\geq 0}P(X=x)x \\ &=\sum_{x\geq 0}P(X> x) \end{aligned}$$

上面这个确实经常用到。类比一下连续的情况。

（下面这个应该是对的）

$X$ 是连续型随机变量：

$$\begin{aligned} E(X)&=\int F(x)x\text{d}x \\ &=\int G(x)\text{d}x \end{aligned}$$

其中 $F(X)$ 是概率密度函数，$G(x)=\int_{x}^{+\infty}F(y)\text dy=P(X>x)$