线性规划转对偶
\[\max \mathbf{c}^T\mathbf{x}
\\
\mathbf{Ax}\leq \mathbf{b}
\\
\mathbf{x}\geq \mathbf{0}
\]
等于
\[\min \mathbf{b}^T\mathbf{y}
\\
\mathbf{A}^T\mathbf{y}\geq \mathbf{c}
\\
\mathbf{y}\geq \mathbf{0}
\]
首先先认识 \(\sum a_ib_i=c\) 这个限制怎么对偶，拆成：
\[\sum a_ix_i\leq c
\\
\sum -a_ix_i\leq -c
\]
假设前者的对偶变量为 \(p\)，后者的为 \(p'\)，那么就是最小化 \(c(p-p')\)，令 \(\varphi =p-p'\)，那么 \(\varphi\) 可以取任意实数。所以干脆视 \(\varphi\) 作为 \(\sum a_ib_i=c\) 的对偶变量，它的取值范围可以是任意实数。反过来同理，一个取值范围是任意实数的变量对偶后的限制应该是恰好等于。
费用流问题：
\(w_{u,v}\) 费用，\(f_{u,v}\) 流量，\(c_{u,v}\) 容量，\(b_u\) 出流量 \(-\) 入流量。
\[\min \sum_{(u,v)} w_{u,v}f_{u,v}\\
s.t.\\
-f_{u,v}\geq -c_{u,v}
\\
\sum_v f_{u,v}-\sum_v f_{v,u}=b_u
\\
w_{u,v}\geq 0
\]
令 \(z_{u,v}\) 作为 \(-f_{u,v}\geq -c_{u,v}\) 的对偶变量，\(p_u\) 作为 \(\sum_v f_{u,v}-\sum_v f_{v,u}=b_u\) 的对偶变量。
这里列对偶的方法是，将原问题的所有限制设出其对偶变量。再根据根据原问题的每个限制列新问题的最优化的式子；根据原问题的每个变量列新问题的每个约束。
所以对偶后的问题为：
\[\max\{\sum_{(u,v)}-z_{u,v}c_{u,v}+\sum_u p_ub_u\}\\
s.t.\\
-z_{u,v}+p_u-p_v\leq w_{u,v}\\
z_{u,v}\geq 0
\]
这里和原论文 \(p\) 的系数恰好相反，不过是等价的，因为 \(p\) 的取值范围是任意实数。
整理一下，考虑 \(p_u-p_v-w_{u,v}\leq z_{u,v}\) 而 \(z\) 的贡献系数是负的要尽可能小，所以 \(z_{u,v}\) 取的值就是 \(\max(0,p_u-p_v-w_{u,v})\)，一般 \(b_u=0\)，从而现在就是最优化
\[\min \{\sum_{(u,v)}\max(0,p_u-p_v-w_{u,v})c_{u,v}\}
\]
把 \(p_u-p_v\) 写成 \(p_v-p_u\) 也行。
关于整数解的问题：有定理是 \(w_{u,v}\) 均为整数则 \(p\) 存在全是整数的最优解。
