线性规划转对偶

丁晓漫，再探线性规划对偶在信息学竞赛中的应用

$$\max \mathbf{c}^T\mathbf{x} \\ \mathbf{Ax}\leq \mathbf{b} \\ \mathbf{x}\geq \mathbf{0}$$

等于

$$\min \mathbf{b}^T\mathbf{y} \\ \mathbf{A}^T\mathbf{y}\geq \mathbf{c} \\ \mathbf{y}\geq \mathbf{0}$$

首先先认识 $\sum a_ib_i=c$ 这个限制怎么对偶，拆成：

$$\sum a_ix_i\leq c \\ \sum -a_ix_i\leq -c$$

假设前者的对偶变量为 $p$，后者的为 $p'$，那么就是最小化 $c(p-p')$，令 $\varphi =p-p'$，那么 $\varphi$ 可以取任意实数。所以干脆视 $\varphi$ 作为 $\sum a_ib_i=c$ 的对偶变量，它的取值范围可以是任意实数。反过来同理，一个取值范围是任意实数的变量对偶后的限制应该是恰好等于。

费用流问题：

$w_{u,v}$ 费用，$f_{u,v}$ 流量，$c_{u,v}$ 容量，$b_u$ 出流量 $-$ 入流量。

$$\min \sum_{(u,v)} w_{u,v}f_{u,v}\\ s.t.\\ -f_{u,v}\geq -c_{u,v} \\ \sum_v f_{u,v}-\sum_v f_{v,u}=b_u \\ w_{u,v}\geq 0$$

令 $z_{u,v}$ 作为 $-f_{u,v}\geq -c_{u,v}$ 的对偶变量，$p_u$ 作为 $\sum_v f_{u,v}-\sum_v f_{v,u}=b_u$ 的对偶变量。

这里列对偶的方法是，将原问题的所有限制设出其对偶变量。再根据根据原问题的每个限制列新问题的最优化的式子；根据原问题的每个变量列新问题的每个约束。

所以对偶后的问题为：

$$\max\{\sum_{(u,v)}-z_{u,v}c_{u,v}+\sum_u p_ub_u\}\\ s.t.\\ -z_{u,v}+p_u-p_v\leq w_{u,v}\\ z_{u,v}\geq 0$$

这里和原论文 $p$ 的系数恰好相反，不过是等价的，因为 $p$ 的取值范围是任意实数。

整理一下，考虑 $p_u-p_v-w_{u,v}\leq z_{u,v}$ 而 $z$ 的贡献系数是负的要尽可能小，所以 $z_{u,v}$ 取的值就是 $\max(0,p_u-p_v-w_{u,v})$，一般 $b_u=0$，从而现在就是最优化

$$\min \{\sum_{(u,v)}\max(0,p_u-p_v-w_{u,v})c_{u,v}\}$$

把 $p_u-p_v$ 写成 $p_v-p_u$ 也行。

关于整数解的问题：有定理是 $w_{u,v}$ 均为整数则 $p$ 存在全是整数的最优解。