拟阵
拟阵：\((E,L)\)，\(E\) 是集合，\(L\) 是包含若干 \(E\) 的子集的集合。
称 \(L\) 中的集合是独立集，其要满足：
- 空集是独立集。
- 遗传性：独立集的子集是独立集。
- 扩张性：如果独立集 \(A,B\) 其中 \(|A|<|B|\)，那么 \(B\) 一定存在 \(x\in B-A\) 使得 \(A+\{x\}\in L\)，（大的独立集一定存在一个元素可以加入小的独立集形成一个独立集）．
不包括扩张性的话，是叫子集系统。
基
极大独立集。所有基的大小相等。否则扩张性导出矛盾。
强基交换定理：对于任意一个元素 \(x\in A-B\)，都存在一个元素 \(y\in B-A\)，满足 \(A−\{x\}+\{y\}\) 和 \(B−\{y\}+\{x\}\) 都是拟阵的基。（两个基可以交换非公共元素得到新的基）
环
极小非独立集。
环大小并不唯一。但是基加入任意一个元素之后，必定包含恰好一个环。
秩
集合 \(S\) 的秩 \(r(S)\) 是它子集中最大独立集的大小。
次模性：\(r(A\cup B)+r(A\cap B)\leq r(A)+r(B)\)（有啥用吗？）
常见的拟阵
\(L\) 是所有大小 \(\leq k\) 的集合。
多色拟阵：\(E\) 中的元素有颜色，\(L\) 中的元素是 “所包含元素颜色互不相同的集合”。
森林拟阵：\(E\) 中的元素是无向图的边，\(L\) 中的元素是 “所有森林”。
拟阵交
\(E\) 相同的两个拟阵 \((E,L_1),(E,L_2)\)，求它们独立集的交中最大的是哪个。
假设现在求出的独立集的交是 \(A\)，增量求 \(A\)：
- \(A\) 左部点，\(E-A\) 右部点，另外有源点 \(s\) 汇点 \(t\)．
- 对于每个右部点 \(y\)，如果 \(A+\{y\}\in L_1\)，连边 \(s\to y\)；如果 \(A+\{y\}\in L_2\)，连边 \(y\to t\)．
- 左部点 \(x\) 和右部点 \(y\)，如果 \(A-\{x\}+\{y\}\in L_1\)，那么 \(x\to y\)；如果 \(A-\{x\}+\{y\}\in L_2\)，那么 \(y\to x\)．
求出 \(s\to t\) 的路径，然后增广，也就是对于经过的所有点 \(x\)，如果 \(x\in A\) 那么将 \(x\) 剔除，否则将 \(x\) 加入。每轮 \(|A|\) 会 \(+1\)．
令 \(r=\max(r_1(E),r_2(E))\)，\(n=|E|\)．暴力实现就是最多增广 \(r\) 轮，每轮要用 \(\mathcal{O}(nr)\) 次询问建图，\(\mathcal{O}(nr)\) 的时间复杂度找增广路，这样复杂度就是 \(\mathcal{O}(r^2n)\)．
优化是，在找增广路也就是 bfs 的过程中建图，然后增广路找最短路就行了。这样询问次数是 \(\mathcal{O}(r^{1.5}n)\)（I don't know why）
例题
二分答案之后 check 就看下 \(<mid\) 的边是否能每个边权选一条然后构成一个生成树，那就是多色拟阵和森林拟阵的拟阵交。
但因为强基交换定理（是吗？大概和拟阵交做法正确性有关但是我不会）实际上从小到大每次一起加入边权相同的边，跑拟阵交就行。
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<ctime>
#include<random>
#include<assert.h>
#define pb emplace_back
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define dbg(x) cerr<<"In Line "<< __LINE__<<" the "<<#x<<" = "<<x<<'\n';
#define dpi(x,y) cerr<<"In Line "<<__LINE__<<" the "<<#x<<" = "<<x<<" ; "<<"the "<<#y<<" = "<<y<<'\n';
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef double ld;
typedef pair<int,int>pii;
typedef pair<ll,int>pli;
typedef pair<ll,ll>pll;
typedef pair<int,ll>pil;
typedef vector<int>vi;
typedef vector<ll>vll;
typedef vector<pii>vpii;
typedef vector<pll>vpll;
template<typename T>T cmax(T &x, T y){return x=x>y?x:y;}
template<typename T>T cmin(T &x, T y){return x=x<y?x:y;}
template<typename T>
T &read(T &r){
r=0;bool w=0;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9')w=ch=='-'?1:0,ch=getchar();
while(ch>='0'&&ch<='9')r=r*10+(ch^48),ch=getchar();
return r=w?-r:r;
}
template<typename T1,typename... T2>
void read(T1 &x,T2& ...y){read(x);read(y...);}
const int N=1010;
int n,m;
vpii eg[N];
struct DSU{
int fa[N];
void clear(){for(int i=1;i<=n;i++)fa[i]=i;}
int getfa(int x){return fa[x]==x?x:fa[x]=getfa(fa[x]);}
void merge(int x,int y){fa[getfa(x)]=getfa(y);}
}dsu,chk;
int ct=0;
pii e[N];
int vis[N],col[N];
int coe[N];
int dis[N],pre[N];
bool check(int w){
dsu.clear();
for(int i=1;i<=ct;i++)if(vis[i])dsu.merge(e[i].fi,e[i].se);
int fl=0;
for(auto i:eg[w]){
e[++ct]=i;col[ct]=w;
if(!fl && dsu.getfa(i.fi)!=dsu.getfa(i.se)){
vis[ct]=1;
coe[w]=ct;
fl=1;
}
}
if(fl)return 1;
for(int i=1;i<=ct;i++)dis[i]=N,pre[i]=0;
queue<int>q;
for(int i=1;i<=ct;i++)
if(!vis[i] && dsu.getfa(e[i].fi)!=dsu.getfa(e[i].se)){
q.push(i);
dis[i]=0;
}
int T=0;
while(!q.empty()){
int x=q.front();q.pop();
if(col[x]==w){
T=x;
break;
}
if(!vis[x]){
int v=coe[col[x]];
if(dis[v]==N){
dis[v]=dis[x]+1;
pre[v]=x;
q.push(v);
}
}
else{
chk.clear();
for(int i=0;i<w;i++)if(i!=col[x])chk.merge(e[coe[i]].fi,e[coe[i]].se);
for(int i=1;i<=ct;i++)
if(!vis[i] && dis[i]==N && chk.getfa(e[i].fi)!=chk.getfa(e[i].se)){
dis[i]=dis[x]+1;
pre[i]=x;
q.push(i);
}
}
}
if(!T)return 0;
while(T){
vis[T]^=1;
T=pre[T];
}
for(int i=1;i<=ct;i++)if(vis[i])coe[col[i]]=i;
return 1;
}
signed main(){
#ifdef do_while_true
// assert(freopen("data.in","r",stdin));
// assert(freopen("data.out","w",stdout));
#endif
read(n);read(m);
for(int i=1;i<=m;i++){
int u,v,w;read(u,v,w);
eg[w].pb(mp(u,v));
}
for(int i=0;i<=n;i++)
if(eg[i].empty() || !check(i)){
cout << i << '\n';
return 0;
}
#ifdef do_while_true
// cerr<<'\n'<<"Time:"<<1.0*clock()/CLOCKS_PER_SEC*1000<<" ms"<<'\n';
#endif
return 0;
}
