「题解」ABC241Ex Card Deck Score

青蛙：最喜欢的一集

没有 $b_i$ 怎么做？

答案是 $[x^m]\prod\frac{1}{1-a_ix}$，我们知道它可以分解为 $\sum\frac{R_i}{1-a_ix}$，其中 $R_i$ 是一个常数。具体构造就是上面 EI 的 blog，和中国剩余定理极其类似。

那么 $R_i=\frac{1-a_ix}{\prod_j(1-a_jx)}\bmod (1-a_ix)$，将 $x=\frac{1}{a_i}$（使得后面模掉的多项式值为 $0$ 的 $x$）代入到 $\frac{1-a_ix}{\prod_j(1-a_jx)}$ 就是 $R_i$（感谢 vuq 里 crashed 的教导 /kel）

求出 $R_i$ 之后 $[x^m]\frac{R_i}{1-a_ix}=\sum R_i{a_i}^m$ 便可用快速幂算出。

现在没有 $b_i$ 的限制时我们会 $\mathcal{O}(n^2)$ 计算了。

如果有 $b_i$ 的限制，暴力容斥一个集合 $S$ 内的 $b_i$ 是爆的，然后 $\mathcal{O}(n^2)$ 计算，就是 $\mathcal{O}(2^nn^2)$ 的复杂度。这里也可以理解为将答案 $[x^m]\prod\frac{1-{a_i}^{b[i]+1}x^{b[i]+1}}{1-a_ix}$ 这个多项式的分子暴力展开再对每一项单独计算。