The 2022 ICPC Asia Nanjing Regional Contest

A

题解

先求出没有洞的话，最终留下来的袋鼠是哪个矩形。再看洞相对袋鼠是怎么移动的，这个洞会留下来一个移动轨迹。check 一个点是不是答案，就是看这个移动轨迹和袋鼠矩形的交的大小。那么每次是对移动轨迹进行一个二维数点。移动轨迹坐标必须在 $[-n,n]$ 和 $[-m,m]$ 之间，要不然最终一只袋鼠都不剩可以直接特判掉。所以二维前缀和即可。

B

题解

求出 $f_i$ 和 $g_i$ 分别代表考虑 $i$ 作为断电的前缀 / 后缀，并且选了 $i$，最小代价是多少。

答案可以用一个前缀和一个后缀拼起来，那就分为两种：选了 $p$ 和不选 $p$ 的。对于 $[p-k,p-1]$ 和 $[p+1,p+k]$ 这两个区间：

• 选了 $p$：左边 $f_{\min}$ 和右边 $g_{\min}$ 再加 $v$；
• 没选 $p$：左侧 $i$ 和右侧 $j$，并且 $j-i\leq k$，求 $\min\{f_i+g_j\}$．

前者直接扫一遍，后者搞个单调栈就行。

C

会不会补呢

D

题解

二分答案，$\geq mid$ 的设成 1，$<mid$ 的设成 0．那么第 $k$ 大 $\geq mid$ 当且仅当可以让 $1$ 的个数 $\geq k$．每个数作为 1 的一定是一段区间，这样就能 $\mathcal{O}(n)$ check 了。

E

题解

暴力是 $f_{x,i}$ 为 $x$ 子树内距离 $x$ 为 $i$ 的点全部变黑的代价是啥。$f_x$ 首先是所有儿子的 $f$ 加起来，位移一位，前面添个 $a_0$，然后再对应位置和 $a_i$ 取 $\min$．

上个长剖，每个位置再记录一个 tag，表示这个东西上次 chkmin 是对 $a[?]$ chkmin 的就行。

这里这样做是因为长链往前添的时候，后面的不能动。但是这个 chkmin 并不急着求出来，当短链往长链上合并的时候再把短链上延迟的那些给更新掉就行。

由于要对 $a$ 求区间 $\min$，所以需要上 ST 表，复杂度是 $\mathcal{O}(n\log n)$．

F

这题有点逆天。

G

题解

贪心，发现尽可能选 2 更优。那就能选 2 就选 2，选不了 2 再选 1．如果有一次强制 2 操作不了了，就把之前的一次选 2 反悔成选 1．

H

题解

看看 $n^2$ dp：

$$f'_{u,t}=\max_{i+j=k}\{f_{u,i}+f_{v,j}+wj(k-j)\}$$

然后 slope trick，考虑差分数组的变化相当于整体加等差数列，或者把俩差分数组给归并起来。平衡树维护一下，支持打等差数列加的 tag，以及启发式合并。

启发式合并的时候 finger search（splay 自带）复杂度是 $\mathcal{O}(n\log n)$．

I

签到。

J

题解

连边是咋连的？同一条斜率为 1（或 -1） 的直线上的点互相连边。对每个斜率为 1（或 -1） 的直线建个点，对于平面上每个点再把它所在的两个直线对应的点给连起来。

那么原先的完美匹配就是说要找到一个完美的边边匹配方案。这个就是经典问题，如果有连通分量里面如果是奇数条边就无解了，否则随便拉出来一个生成树，在上面自底向上贪心匹配即可。

K

题解

合法的一定是 NaN 的左右子树都是堆结构，然后 NaN 的子树补是个堆结构。

先考虑计数，$f_{n,k}$ 表示大小为 $n$ 的完全二叉树，子树中有个大小为 $k$ 的 NaN 子树，概率是多少。

注意到本质不同的 $n,k$ 只有 $\mathcal{O}(\log n)$ 种，所以记忆化搜索一下就是对的。

学习一下 ymh 老师的写法！$k$ 之间没啥关系，所以在外面枚举 $k$，这样代码能简便很多。

L

题解

切掉的两条边都是非树边肯定不行。那就这三种情况：

• 至少有一条是树边中的割边。
• 一条是树边，另一条是覆盖这个树边的一条非树边，并且树边仅被这条非树边覆盖。
• 都是树边，并且满足所有的非树边对着两条树边覆盖情况相同（都覆盖或者都不覆盖），为了避免计重还要保证这俩都不是割边。

第一种情况需要求割边数目，第二种情况是求有多少树边仅被一条非树边覆盖，线段树。

第三种情况：覆盖情况相同的边用双向链表连接起来，每次加边的时候会有若干个双向链表会进行分裂，而会分裂的一定是 $[L,R]$ 中 $pre_i<L$ 或 $nxt_i>R$ 的。由于最多分裂 $n$ 次，那么线段树维护 pre 和 nxt，暴力递归切开就是对的。

还有一个问题就是要支持双向链表的分裂，以及记录每个双向链表的大小。采用启发式分裂，大的那边用原来链表的编号，size 就直接打个 tag；小的那边重构。

这样总的复杂度就是 $\mathcal{O}(n\log n)$ 了。

M

题解

考虑让一个谷在最底下的平坡的最左侧的点被统计到，那么就要求前面是往上走的，后面是先平一段再往上走的。但是要区分内部和外部，注意到逆时针给定多边形，那么线段的左侧是多边形内部，分类讨论一下几种情况，判叉积就行了。

咋都判得比我简洁。