数论

莫反，欧拉反演

常用结论：

• $\mu*1=\epsilon,\varphi*1=id$．
• $\mu^2(n)=\sum_{d^2|n}\mu(d)$．
• $d(ij)=\sum_{x|i}\sum_{y|j}[gcd(x,y)=1]$．
• $\varphi(xy)=\frac{\varphi(x)\varphi(y)\gcd(x,y)}{\varphi(\gcd(x,y))}$．

杜教筛

积性函数 $f=g*h$，它们的前缀和分别是 $F,G,H$，思路是将 $F(n)$ 写出然后交换求和号枚举 $h$：

$$\begin{aligned} F(n)&=\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}h(d)g(\frac{i}{d})\\ &=\sum_{d=1}^n h(d)\sum_{i=1}^{\left\lfloor \frac{n}{d}\right\rfloor}g(i)\\ &=\sum_{d=1}^{n}h(d)G(\left\lfloor \frac{n}{d}\right\rfloor) \end{aligned}$$

杜教筛说的是，欲求 $G(n)$，将 $d=1$ 这一项单独拎出来移项，这样就有 $h(1)G(n)=F(n)-\sum_{d>1}^nh(d)G(\left\lfloor \frac{n}{d}\right\rfloor)$，对右边整除分块，这要求 $F$ 和 $H$ 都能快速算出。

这相当于求出 $g$ 的所有基本和组处的取值，然后对于这些位置继续往下递归它们的基本和组。需要记忆化搜索剪枝。

现在来算复杂度，注意到基本和组的基本和组依然属于原先的基本和组，也就是 $\lfloor\frac{\lfloor\frac{n}{a}\rfloor}{b}\rfloor=\lfloor\frac{n}{ab}\rfloor$，依据整除分块，复杂度实际上是 $\sum_{i=1}^{\sqrt n}(\sqrt i+\sqrt{\frac{n}{i}})$，不难积分出复杂度为 $\mathcal{O}(n^{3/4})$．

如果能线性筛预处理出 $G$ 在 $n$ 比较小的时候的前缀和，取 $B= \mathcal{O}(n^{2/3})$，这样复杂度中 $\sqrt i$ 直接查表就能直接去掉，而要保证 $\frac{n}{i}\geq n^{2/3}$ 那么 $i\leq n^{1/3}$，这样复杂度就是 $\sum_{i=1}^{n^{1/3}}\sqrt{\frac{n}{i}}= \mathcal{O}(n^{2/3})$．

1. $f=g*h,F(n)=\sum_{d=1}^n h(d)G(\left\lfloor \frac{n}{d}\right\rfloor)$．
2. 求 $G(n)$，移项，基本和组往下递归。
3. 直接递归需要记忆化复杂度 $\mathcal{O}(n^{3/4})$，小的部分线性筛预处理，复杂度是 $\mathcal{O}(n^{2/3})$．

Powerful number 筛

Powerful number 是指标准分解中质因数的指数均 $>1$ 的数，其一定能表示成 $a^2b^3$ 的形式，如果让 $b$ 中无平凡因子那么这个表示就是唯一的。那么现在就可以来估计一下 $n$ 以内 pn 的个数：$\sum_{b=1}^{\sqrt[3]{n}}\frac{n}{b^2}$，积分一下就得到 $\mathcal{O}(n^{1/2})$．

Powerful number 筛的核心式子与杜教筛完全一致 $F(n)=\sum_{d=1}^n h(d)G(\left\lfloor \frac{n}{d}\right\rfloor)$．现在想求 $F(n)$，构造 $g$ 使得 $g$ 和 $f$ 在素数处的取值完全相同，由于 $f=g*h$ 可看出 $h$ 仅在 powerful number 处有值。如果 $G$ 能快速算出，$h(d)$ 根据 $f=g*h$ 也能快速算出，这样只需要暴力 dfs 枚举所有 powerful number 作为 d，然后计算 $f$，这样复杂度就是 $\mathcal{O}(n^{1/2})$ 的了。

1. $f=g*h,F(n)=\sum_{d=1}^n h(d)G(\left\lfloor \frac{n}{d}\right\rfloor)$．
2. 求 $F(n)$，构造 $g$ 使得 $f,g$ 在 $p^k$ 处取值相同，这样 $h$ 仅在 pn 处有取值。
3. 直接 dfs 枚举所有 $d$ 计算 $F(n)$ 即可。复杂度是 pn 个数 $\mathcal{O}(\sqrt n)$．

贝尔级数

对于积性函数 $f$ 其质数 $p$ 对应的贝尔级数 $\sum\limits_if(p^i)x^i$，积性函数的狄利克雷卷积就对应贝尔级数的普通卷积，可以用来构造杜教筛需要的函数。

• $\epsilon_p(x)=1$．
• $I_p(x)=\frac{1}{1-x}$．
• $(id_k)_p(x)=\sum_{i\geq 0}p^{ik}x^i=\frac{1}{1-p^kx}$．
• $\mu=I^{-1}$：$\mu_p(x)=1-x$，前面是狄利克雷乘法逆，这也说明为什么 $\mu$ 本质上是在质因子维度上作高维差分（类比 ogf $1-x$ 是在作差分）。
• $(\mu^2)_p(x)=1+x$，这里 $\mu^2$ 是点乘。
• $\varphi=id*\mu$：$\varphi_p(x)=\frac{1-x}{1-px}$．
• $d=\sigma_0=I*I$：$d_p(x)=\frac{1}{(1-x)^2}$．
• $\sigma_k=I*id_k$：$(\sigma_k)_p(x)=\frac{1}{(1-x)(1-p^kx)}$．

例题

DIVCNT2

求 $\sum_{i=1}^n d(i^2)$．

$f(i)=d(i^2)$ 的贝尔级数是 $<1,3,5,....>=\frac{1+x}{(1-x)^2}$，于是 $f=\mu^2 * d$．

$\mu^2(n)$ 前缀和是 $\sum_{i=1}^{\sqrt n}\mu(i)\lfloor\frac{n}{i^2}\rfloor$ 可以整除分块算。

$d=1 * 1$ 的前缀和可以化成 $\sum_{d=1}^{n}\lfloor\frac{n}{d}\rfloor$ 然后整除分块算。

我们知道基本和组的基本和组依然是基本和组，所以记忆化搜索，小的线性筛出来，复杂度就是 $\mathcal{O}(n^{2/3})$ 的了。