咋还记不住常见 ogf

\[<1,−1,1,−1,\cdots>=\frac{1}{1+x} \]

\[\sum_{i=0}\binom{n+i-1}{i}x^i=\frac{1}{(1-x)^n} \]

第一个的记忆：\(<1,-1>\) 是 \(1-x\)，然后奇偶位置分别作前缀和，那就是 \(\frac{1-x}{1-x^2}=\frac{1}{1+x}\)．

第二个的记忆：右推左经典前缀和转格路计数，左推右是上指标反转成：

\[\sum_{i\geq 0}(-x)^i\binom{-n}{i} \]

然后广义二项式定理。

cftm 一言切中了肯綮，套路是上下指标差恒等，利用上指标反转，这样上指标就是定值了。

多项式推理法

两个 \(\leq d\) 次的多项式在 \(>d\) 处点值相同，由于它们的差是 \(\leq d\) 次的，而一个非 0 的 \(d\) 次多项式至多有 \(d\) 个零点，但是现在出现了 \(>d\) 个零点，这说明这两个多项式的差恒为 0，处处取值相同。

所以有的组合恒等式你可以通过组合意义说明它们相同，也就是对任意正整数成立，然后用多项式推理法说明它们对任意整数都成立。

有限微积分

\(\Delta f(x)=f(x+1)-f(x)\)，定义平移算子 \(E\) 为 \(Ef(x)=f(x+1)\)，那么 \(\Delta=E-1\)，由二项式定理有 \(\Delta^n=(E-1)^n=\sum_k \binom{n}{k}E^k(-1)^{n-k}\)，那么就有：

\[\Delta^n f(x)=\sum_k \binom{n}{k}(-1)^{n-k}f(x+k) \]

对下降幂 \(x^{\underline n}\) 施加 \(\Delta\) 得到 \(nx^{\underline{n-1}}\) 看上去就和无限微积分中的求导一样。后面还有啥，用到再补。