「题解」ABC290F Maximum Diameter

没动脑子就 gf 一路写下来了......实际上就是把插板法的 gf 写了一下/zk

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首先考虑一下一个 $X$ 合法是什么情况，那就是总和是 $2n-2$ 并且保证 $0<X_i<n$。

证明就考虑贪心构造一下，每个 $1$ 挂在一个 $\geq 2$ 的上面，不断挂使得最后只剩下两个 $1$ 和一堆 $2$，再把它们串起来就行。

然后就能发现，这样也同时构造出了最大的直径（容易发现这是上界），那就是 度数 $\geq 2$ 的个数 + 1．

然后枚举度数为 1 的有 $k$ 个，此时答案为 $n-k+1$，先仅考虑度数 $\geq 2$ 内部的顺序，最后乘上 $\binom{n}{k}$ 以插入度数为 1 的。这样要算的方案数就是：

$$\begin{aligned} &[z^{2n-2-k}](z^2+z^3+\cdots+z^{n-1})^{n-k} \\ =&[z^{2n-2-k-2(n-k)}](1+z+z^2+\cdots+z^{n-3})^{n-k} \\ =&[z^{k-2}](1+z+z^2+\cdots+z^{n-3})^{n-k} \end{aligned}$$

由于 $k\leq n-1$，那么 $n-3\geq k-2$，所以：

$$\begin{aligned} =&[z^{k-2}](1+z+z^2+z^3+\cdots)^{n-k} \\ =&[z^{k-2}]\left(\frac{1}{1-z}\right)^{n-k} \end{aligned}$$

已经化到我们熟悉的形式了，根据广义二项式定理它的系数就是 $\binom{n-k+k-2-1}{k-2}=\binom{n-3}{k-2}$，最后答案的推导也是平凡的。

$$\begin{aligned} &\sum_{k=2}^{n-1}\binom{n}{k}\binom{n-3}{k-2}(n-k+1) \\ =&(n-1)\sum_{k=2}^{n-1}\binom{n}{k}\binom{n-3}{k-2}-\sum_{k=2}^{n-1}\binom{n}{k}\binom{n-3}{k-2}(k-2) \\ =&(n-1)\sum_{k=2}^{n-1}\binom{n}{n-k}\binom{n-3}{k-2}-(n-3)\sum_{k=3}^{n-1}\binom{n}{n-k}\binom{n-4}{k-3} \\ =&(n-1)\binom{2n-3}{n-2}-(n-3)\binom{2n-4}{n-3} \end{aligned}$$

倒数第二步同时用了对称恒等式和吸收恒等式，最后一步则是范德蒙德卷积。

Code：https://atcoder.jp/contests/abc290/submissions/39046485