「题解」ABC294Ex K-Coloring
感谢 ZCPB 的指导！
可以不断删一度点和二度点，来对图进行简化。删完之后一条边有两个权值，分别代表两端颜色相同/不同时这条边对答案乘上的系数。（其实这个并不必要）
对于每个连通块单独考虑。如果点数很小，可以直接枚举颜色的最小表示，也就是爆搜一下集合划分。点数很多的话，非树边会比较少，所以就对于每个返祖边的 dep 较小的点组成的集合，搜这个集合里面的点的颜色的最小表示，然后上个暴力树形 dp 算方案数就行。
复杂度不是很会算，但跑得嘎嘎快！
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<ctime>
#include<random>
#include<assert.h>
//#define int long long
#define pb emplace_back
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define dbg(x) cerr<<"In Line "<< __LINE__<<" the "<<#x<<" = "<<x<<'\n';
#define dpi(x,y) cerr<<"In Line "<<__LINE__<<" the "<<#x<<" = "<<x<<" ; "<<"the "<<#y<<" = "<<y<<'\n';
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int>pii;
typedef pair<ll,int>pli;
typedef pair<ll,ll>pll;
typedef pair<int,ll>pil;
typedef vector<int>vi;
typedef vector<ll>vll;
typedef vector<pii>vpii;
typedef vector<pil>vpil;
template<typename T>T cmax(T &x, T y){return x=x>y?x:y;}
template<typename T>T cmin(T &x, T y){return x=x<y?x:y;}
template<typename T>
T &read(T &r){
r=0;bool w=0;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9')w=ch=='-'?1:0,ch=getchar();
while(ch>='0'&&ch<='9')r=r*10+(ch^48),ch=getchar();
return r=w?-r:r;
}
template<typename T1,typename... T2>
void read(T1 &x,T2& ...y){read(x);read(y...);}
const int mod=998244353;
inline void cadd(int &x,int y){x=(x+y>=mod)?(x+y-mod):(x+y);}
inline void cdel(int &x,int y){x=(x-y<0)?(x-y+mod):(x-y);}
inline int add(int x,int y){return (x+y>=mod)?(x+y-mod):(x+y);}
inline int del(int x,int y){return (x-y<0)?(x-y+mod):(x-y);}
const int N=31;
int n,m,k;
int f[N][N],g[N][N],e[N][N];
int ban[N];
//f: diff
//g: same
int d[N];
int coef=1;
int p[N],tot;
int getdeg(){
for(int i=1;i<=n;i++)d[i]=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=i+1;j<=n;j++)
if(e[i][j])
++d[i],++d[j];
for(int i=1;i<=n;i++)
if(!ban[i] && d[i]<=2)
return 1;
return 0;
}
void cle(int i,int j){
e[i][j]=e[j][i]=f[i][j]=f[j][i]=g[i][j]=g[j][i]=0;
--d[i];--d[j];
}
void kill0(){
for(int i=1;i<=n;i++)
if(!ban[i] && d[i]==0){
coef=1ll*coef*k%mod;
ban[i]=1;
}
}
void kill1(){
for(int i=1;i<=n;i++)
if(d[i]==1){
for(int j=1;j<=n;j++)
if(e[i][j]){
coef=1ll*coef*add(g[i][j],1ll*(k-1)*f[i][j]%mod)%mod;
cle(i,j);
ban[i]=1;
}
}
}
void kill2(){
for(int i=1;i<=n;i++)
if(d[i]==2){
int x=0,y=0;
for(int j=1;j<=n;j++)
if(e[i][j]){
if(!x)x=j;
else y=j;
}
int G=add(1ll*g[i][x]*g[i][y]%mod,1ll*(k-1)*f[i][x]%mod*f[i][y]%mod);
int F=add(1ll*g[i][x]*f[i][y]%mod,1ll*g[i][y]*f[i][x]%mod);
cadd(F,1ll*(k-2)*f[i][x]%mod*f[i][y]%mod);
if(!e[x][y])
e[x][y]=e[y][x]=f[x][y]=f[y][x]=g[x][y]=g[y][x]=1,++d[x],++d[y];
f[x][y]=f[y][x]=1ll*f[x][y]*F%mod;
g[x][y]=g[y][x]=1ll*g[x][y]*G%mod;
cle(i,x);cle(i,y);
ban[i]=1;
}
}
void remake(){
for(int i=1;i<=n;i++)
if(!ban[i])
p[i]=++tot;
static int tmp[N][N];
auto rem=[&](int a[N][N]){
memcpy(tmp,a,sizeof(f));
memset(a,0,sizeof(f));
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
if(tmp[i][j])
a[p[i]][p[j]]=tmp[i][j];
};
rem(f);rem(g);rem(e);
n=tot;
}
//
int a[N],ans=1,sum,down[N];
vi eg[N],vec;
void bell_dfs(int o,int ct,int h){
if(o==(int)vec.size()){
cadd(sum,1ll*h*down[ct]%mod);
return ;
}
int x=vec[o];
for(int i=1;i<=ct+1;i++){
a[x]=i;
int t=h;
for(auto j:eg[x]){
if(a[x]!=a[j])
t=1ll*t*f[j][x]%mod;
else
t=1ll*t*g[j][x]%mod;
}
bell_dfs(o+1,max(i,ct),t);
a[x]=0;
}
}
int F[N][N],G[N][N],E[N][N];
int pa[N],alr[N],dep[N],ok[N];
void dfs1(int x){
alr[x]=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
if(E[x][i] && !alr[i]){
pa[i]=x;dep[i]=dep[x]+1;
dfs1(i);
}
}
int C;
int dp[N][N];
void Dp(int x){
for(int i=0;i<=C;i++)dp[x][i]=0;
if(ok[x])dp[x][a[x]]=1;
else{
for(int i=0;i<=C;i++)dp[x][i]=1;
}
for(int v=1;v<=n;v++)
if(E[x][v] && v!=pa[x]){
if(dep[v]<dep[x]){
for(int i=0;i<=C;i++)
if(i==a[v])dp[x][i]=1ll*dp[x][i]*G[x][v]%mod;
else dp[x][i]=1ll*dp[x][i]*F[x][v]%mod;
}
else{
if(pa[v]!=x)continue;
Dp(v);
for(int i=0;i<=C;i++){
int s=0;
if(i)s=1ll*dp[v][0]*(k-C)%mod*F[x][v]%mod;
else s=add(1ll*dp[v][0]*(k-C-1)%mod*F[x][v]%mod,1ll*dp[v][0]*G[x][v]%mod);
for(int j=1;j<=C;j++)
if(i==j)cadd(s,1ll*dp[v][j]*G[x][v]%mod);
else cadd(s,1ll*dp[v][j]*F[x][v]%mod);
dp[x][i]=1ll*dp[x][i]*s%mod;
}
}
}
}
vi pac;
void dfs2(int o,int ct){
if(ct>k)return ;
if(o==(int)pac.size()){
C=ct;
Dp(1);
int s=1ll*dp[1][0]*(k-C)%mod;
for(int i=1;i<=C;i++)cadd(s,dp[1][i]);
cadd(sum,1ll*s*down[ct]%mod);
return ;
}
int x=pac[o];
for(int i=1;i<=ct+1;i++){
a[x]=i;
dfs2(o+1,max(i,ct));
a[x]=0;
}
}
void solve(){
int tot=vec.size();
for(int i=1;i<=tot;i++){
alr[i]=ok[i]=0;
for(int j=1;j<=tot;j++){
E[i][j]=e[vec[i-1]][vec[j-1]];
F[i][j]=f[vec[i-1]][vec[j-1]];
G[i][j]=g[vec[i-1]][vec[j-1]];
}
}
dfs1(1);
for(int i=1;i<=tot;i++)
for(int j=1;j<=tot;j++)
if(E[i][j]){
if(i==pa[j]||j==pa[i])continue;
if(dep[i]<dep[j])
ok[i]=1;
}
vi().swap(pac);
for(int i=1;i<=tot;i++)
if(ok[i])
pac.pb(i);
dfs2(0,0);
}
int fa[N],siz[N];
int getfa(int x){return fa[x]==x?x:fa[x]=getfa(fa[x]);}
signed main(){
#ifdef do_while_true
// assert(freopen("data.in","r",stdin));
// assert(freopen("data.out","w",stdout));
#endif
read(n);read(m);read(k);
if(k==1){
if(m)puts("0");
else puts("1");
return 0;
}
for(int i=1;i<=m;i++){
int u,v;read(u);read(v);
e[u][v]=e[v][u]=1;
f[u][v]=f[v][u]=1;
}
while(getdeg()){
kill0();
kill1();
kill2();
}
remake();
if(!n){
cout << coef << '\n';
return 0;
}
down[0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++)down[i]=1ll*down[i-1]*(k-i+1)%mod;
//n<=m*7/12
//n<=17
for(int i=1;i<=n;i++)fa[i]=i;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<i;j++)
if(e[i][j]){
eg[i].pb(j);
fa[getfa(i)]=getfa(j);
}
for(int i=1;i<=n;i++)siz[getfa(i)]++;
for(int i=1;i<=n;i++)
if(getfa(i)==i){
vi().swap(vec);
for(int j=1;j<=n;j++)
if(getfa(j)==i)
vec.pb(j);
sum=0;
if(vec.size()<=12)bell_dfs(0,0,1);
else solve();
ans=1ll*ans*sum%mod;
}
cout << 1ll*coef*ans%mod << '\n';
#ifdef do_while_true
// cerr<<'\n'<<"Time:"<<1.0*clock()/CLOCKS_PER_SEC*1000<<" ms"<<'\n';
#endif
return 0;
}
