点覆盖 边覆盖 独立集 最大匹配 链划分 对应及构造

发现不是很熟，所以整理一下。

无向图

• 在任意无向图中，最大独立集和最小点覆盖互补。（指其中一个取反得到另一个）

二分图

• König 定理：二分图最小点覆盖大小等于最大匹配大小。

构造：从每个失配点走增广路，走到的点打标记（走出来的叫交错路）。左侧的未标记点和右侧的标记点组成了最小点覆盖。

• 二分图最小边覆盖等于最大独立集大小。

\(\geq\)：每条边至多覆盖一个独立集中的点。

构造：选出所有匹配边，然后选出非匹配点任意选个邻边。

选的边数：点数 \(-\) 最大匹配 \(\Rightarrow\) 点数 \(-\) 最小点覆盖 \(\Rightarrow\) 最大独立集。

DAG

（点不相交，选出最少路径覆盖所有点）

对于图 \(G\)，每个点复制一下，DAG 中有 \((u,v)\) 就连上左侧 \(u\) 和右侧 \(v\)，得到二分图 \(H\)．

• \(G\) 的最小路径覆盖等于 \(n\) \(-\) \(H\) 的最大匹配．

最大匹配中有什么边，最小路径覆盖中的路径就选择上哪条边。每次相当于将两个路径合并，所以是互补的。

有向图

最大权闭合子图转最小割：

超源连向正权（存在表示选），负权连向超汇（存在表示不选），权值均为点权绝对值。原图边为 inf．

Dilworth 定理：最长反链长度（两两不可比的最大集合）等于最小链覆盖大小（划分成尽量少的两两可比的集合）

注意：严谨的 Dilworth 定理定义在偏序集中，或者说是一个已经传递闭包后的 DAG，那么这里链覆盖能不能经过重复点是一样的。但如果在普通 DAG 中，并不去求它的传递闭包，不可比定义为不可达，那么这里链覆盖实际上就是点可以相交的路径覆盖。

也就是：传递闭包前的 \(G\)，点可以相交；传递闭包后 \(G"\) 无区分，都一样。所以可以传递闭包后跑上面那个 DAG 最小路径覆盖。

最长反链构造：先求出二分图 \(H\) 的最大独立集（最大匹配 \(\to\) 最小点覆盖 \(\to\) 最大独立集），然后 \(x\) 和 \(x'\) 都在最大独立集中的点加入到最长反链中。

设最小点覆盖为 \(m\)，那么最大独立集（\(S\)）为 \(2n-m\)，设构造出的反链长度为 \(t\)，那么一定有 \(t+\sum_x [(x\in S)\or (x'\in S)]=2n-m\)，而由于右边那个 \(\sum\leq n\)，所以 \(t\geq n-m\)，但因为 \(G\) 最长反链 \(=\) \(G'\) 最小路径覆盖 \(=\) \(n\) \(-\) \(H\) 最大匹配 \(=n-m\)．所以 \(t\leq n-m\)，那么构造出来的反链长度一定是 \(n-m\)．

这里不知道有没有循环论证，因为我不会证 Dilworth，只是提供一种理解。