一小类矩阵乘法相关归约

看看 Futari 的归约矩乘！双向链表连起来了

今天上午（2023.3.7）大聪明 LgxTpre 问我区间 reverse 全局 kth 怎么做，我以为他问的是 区间 reverse 区间 kth，确认了一下问题才发现他降智了区间 reverse 根本不会改全局 kth，然后现在出现了新的问题，区间 reverse 区间 kth 怎么做......

我想了一会儿发现不会 polylog，下午 LgxTpre 在 U 群里问了一下，lxl 说能归约到矩阵乘法，但是一直在魔怔没说明白咋归约，142857cs 老师一言切綮，我自己想了想完善了下细节。

阅读之前请先确认，归约的不严谨的定义，以免搞混了方向。问题 A 归约到问题 B，说的是 A 的特殊情况能够对应到 B 的一般情况，那么解决了问题 A 就解决问题 B，也就是问题 A 会不弱于问题 B．

一

区间删除，可撤销，全局查询 $=x$ 的个数。

现在有三个 $\mathcal{O}(\sqrt n)\times \mathcal{O}(\sqrt n)$ 的 01 矩阵 $A,B,C$，其中 $C=AB$．

序列分块，$B_{j,k}$ 为第 $j$ 个块是否有 $k$，很容易通过给定特殊的序列来构造出任意的 $B$．

$A_{i,j}$：第 $i$ 波操作中第 $j$ 个块是否未被删除。

在第 $i$ 波操作中，先用 $\mathcal{O}(\sqrt n)$ 次操作删除掉该删除的块，然后询问一遍 $1,2,3,\cdots,\mathcal{O}(\sqrt n)$ 的出现次数，再撤销掉 $\mathcal{O}(\sqrt n)$ 删除。这样一共用了 $\mathcal{O}(\sqrt n)$ 次操作，可以构造出任意的 $A_{i,\sim}$，以及询问所有的 $C_{i,\sim}$．

区间删除，可撤销，全局 kth，也一样，通过询问一遍 $1,2,3,\cdots,\mathcal{O}(\sqrt n)$ 的 kth，差分之后就是 $1,2,3,\cdots,\mathcal{O}(\sqrt n)$ 的出现次数，所以也能用上面那个归约到 $\mathcal{O}(\sqrt n)\times \mathcal{O}(\sqrt n)$ 的 01 矩阵乘法。然后区间 kth 自然不弱于全局 kth，于是现在有了：

“区间删除，可撤销，区间 kth” 归约到 “$\mathcal{O}(\sqrt n)\times \mathcal{O}(\sqrt n)$ 的 01 矩阵乘法”。

二

现在来完成下面几个问题：

• 区间加，区间（全局亦可） $\leq x$ 的个数。

$\leq x$ 减去 $\leq (x-1)$ 的就是 $=x$ 的个数，然后用区间加/减 $+\infty$ 来实现区间删除，以及删除操作的撤销。从而归约到区间删除，可撤销，全局 $=x$ 的数的个数。

这里甚至只能加正数都可以，只需要让第 $i$ 波问的是 $(i-1)\times inf+x$ 就行，是 $>i\times inf$ 的视作不存在。

• 区间加，区间（全局亦可） kth。

同理，直接归约到区间删除，可撤销，区间 kth。

• link, cut, 区间 kth

用 link 和 cut 把删除的放一边，没删除的放另一边，当然这里的 kth 也能换成 $\leq x$ 的个数。

• 区间 reverse，区间 kth

也是每次把删除了的块用 reverse 扔到一边。

再随便列几个：

• 区间覆盖，可撤销，全局 kth（归约到区间删除 可撤销）
• 交换一个前缀和一个后缀，区间 kth（link cut 归约到这个）
• 区间乘，区间 kth（和区间加一样归约）
• 区间复制，区间 kth