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一小类矩阵乘法相关归约

一小类矩阵乘法相关归约

看看 Futari 的归约矩乘!双向链表连起来了

今天上午(2023.3.7)大聪明 LgxTpre 问我区间 reverse 全局 kth 怎么做,我以为他问的是 区间 reverse 区间 kth,确认了一下问题才发现他降智了区间 reverse 根本不会改全局 kth,然后现在出现了新的问题,区间 reverse 区间 kth 怎么做......

我想了一会儿发现不会 polylog,下午 LgxTpre 在 U 群里问了一下,lxl 说能归约到矩阵乘法,但是一直在魔怔没说明白咋归约,142857cs 老师一言切綮,我自己想了想完善了下细节。

阅读之前请先确认,归约的不严谨的定义,以免搞混了方向。问题 A 归约到问题 B,说的是 A 的特殊情况能够对应到 B 的一般情况,那么解决了问题 A 就解决问题 B,也就是问题 A 会不弱于问题 B.

区间删除,可撤销,全局查询 =x 的个数。

现在有三个 O(n)×O(n) 的 01 矩阵 A,B,C,其中 C=AB

序列分块,Bj,k 为第 j 个块是否有 k,很容易通过给定特殊的序列来构造出任意的 B

Ai,j:第 i 波操作中第 j 个块是否未被删除。

在第 i 波操作中,先用 O(n) 次操作删除掉该删除的块,然后询问一遍 1,2,3,,O(n) 的出现次数,再撤销掉 O(n) 删除。这样一共用了 O(n) 次操作,可以构造出任意的 Ai,,以及询问所有的 Ci,

区间删除,可撤销,全局 kth,也一样,通过询问一遍 1,2,3,,O(n) 的 kth,差分之后就是 1,2,3,,O(n) 的出现次数,所以也能用上面那个归约到 O(n)×O(n) 的 01 矩阵乘法。然后区间 kth 自然不弱于全局 kth,于是现在有了:

“区间删除,可撤销,区间 kth” 归约到 “O(n)×O(n) 的 01 矩阵乘法”。

现在来完成下面几个问题:

  • 区间加,区间(全局亦可) x 的个数。

x 减去 (x1) 的就是 =x 的个数,然后用区间加/减 + 来实现区间删除,以及删除操作的撤销。从而归约到区间删除,可撤销,全局 =x 的数的个数。

这里甚至只能加正数都可以,只需要让第 i 波问的是 (i1)×inf+x 就行,是 >i×inf 的视作不存在。

  • 区间加,区间(全局亦可) kth。

同理,直接归约到区间删除,可撤销,区间 kth。

  • link, cut, 区间 kth

用 link 和 cut 把删除的放一边,没删除的放另一边,当然这里的 kth 也能换成 x 的个数。

  • 区间 reverse,区间 kth

也是每次把删除了的块用 reverse 扔到一边。

再随便列几个:

  • 区间覆盖,可撤销,全局 kth(归约到区间删除 可撤销)
  • 交换一个前缀和一个后缀,区间 kth(link cut 归约到这个)
  • 区间乘,区间 kth(和区间加一样归约)
  • 区间复制,区间 kth
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