2023 NOI 春季测试 题解

2023.3.11 upd：原先那个 D 做法在被官方数据卡了一个点，常数太大了。又实现得精细了一点。

瞎做一通战绩：100+0+0+60，中间两个题忘加 #include<cmath> CE 了，6

啥时候考场能用 NOI Linux 啊。

A 涂色游戏

对于每行每列都记录一下最后一次操作的编号是什么。对于点 \((x,y)\) 其被涂上的颜色就是 \(x\) 行和 \(y\) 列更靠后的那次涂色的颜色。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<set>
#include<queue>
#include<cstring>
#define fi first
#define se second
#define mp make_pair
#define pb emplace_back
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef double ld;
typedef pair<int,int>pii;
typedef pair<ll,ll>pll;
typedef vector<int>vi;
typedef vector<pii>vpii;
typedef vector<ll>vll;
typedef vector<pll>vpll;
template<typename T>void cmax(T &x,T y){x=x>y?x:y;}
template<typename T>void cmin(T &x,T y){x=x<y?x:y;}
template<typename T>
T &read(T &r){
	r=0;bool w=0;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9')w=ch=='-'?1:0,ch=getchar();
	while(ch>='0'&&ch<='9')r=r*10+ch-'0',ch=getchar();
	return r=w?-r:r;
}
const int N=100010;
int n,m,q;
int r[N],c[N];
int col[N];
void solve(){
	read(n);read(m);read(q);
	for(int i=1;i<=n;i++)r[i]=0;
	for(int i=1;i<=m;i++)c[i]=0;
	for(int i=1;i<=q;i++){
		int op,x;read(op);read(x);read(col[i]);
		if(op==0)r[x]=i;
		else c[x]=i;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++,puts(""))
		for(int j=1;j<=m;j++){
			if(j<m)
				cout << col[max(r[i],c[j])] << ' ';
			else
				cout << col[max(r[i],c[j])];
		}
}
signed main(){
	freopen("paint.in","r",stdin);
 	freopen("paint.out","w",stdout);
	int T;read(T);while(T--)solve();
	return 0;
}

B 幂次

\(k=1\) 特判掉。

\(2\leq k\leq 3\)：容斥。（不知道咋说明白，鸽了）

\(k\geq 4\)：直接暴力统计。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<set>
#include<map>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define int long long
#define fi first
#define se second
#define mp make_pair
#define pb emplace_back
#define dbg(x) cerr<<"In the line " << __LINE__ << " the " << #x << " = " << x << '\n'
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef double ld;
typedef pair<int,int>pii;
typedef pair<ll,ll>pll;
typedef vector<int>vi;
typedef vector<pii>vpii;
typedef vector<ll>vll;
typedef vector<pll>vpll;
template<typename T>void cmax(T &x,T y){x=x>y?x:y;}
template<typename T>void cmin(T &x,T y){x=x<y?x:y;}
template<typename T>
T &read(T &r){
	r=0;bool w=0;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9')w=ch=='-'?1:0,ch=getchar();
	while(ch>='0'&&ch<='9')r=r*10+ch-'0',ch=getchar();
	return r=w?-r:r;
}
const int N=100010;
int n,k;
int vis[110];
signed main(){
//	freopen("power.in","r",stdin);
//	freopen("power.out","w",stdout);
	read(n);read(k);
	if(k==1){
		cout << n << '\n';
		return 0;
	}
	if(k>=60){
		puts("1");
		return 0;
	}
	auto sol=[](int x,int y){
		if(!x)return 1;
		int s=1;
		for(int i=1;i<=y;i++)
			if(n/x>=s)
				s=s*x;
			else return 0;
		return 1;
	};
	auto calc=[&](int x){
		int y=pow(n,1.0/x);
		int t=0;
		for(int i=max(y-5,0ll);i<=y+5;i++){
			if(sol(i,x))
				t=i;
		}
		return t;
	};
	if(k<=3){
		vi vec;vec.pb(0);
		for(int i=k;i<=59;i++){
			if(!vis[i]){
				vec.pb(i);
				for(int j=2*i;j<=59;j+=i)
					vis[j]=1;
			}
		}
		int m=(int)vec.size()-1,ans=0;
		for(int i=1;i<(1<<m);i++){
			int x=1;
			for(int j=0;j<m;j++)
				if((1<<j)&i){
					if(x<=59)
						x=x*vec[j+1];
				}
			int s=0;
			if(x<=59)
				s=calc(x);
			else
				s=1;
			if(__builtin_popcount(i)&1)ans+=s;
			else ans-=s;
		}
		cout << ans << '\n';
		return 0;
	}
	map<int,int>ok;
	int ans=0;
	for(int i=k;i<=59;i++){
		int x=calc(i);
		for(int j=1;j<=x;j++){
			int s=1;
			for(int k=1;k<=i;k++)
				s=s*j;
			if(!ok[s]){
				ok[s]=1;
				++ans;
			}
		}
	}
	cout << ans << '\n';
	return 0;
}

C 圣诞树

结论是连线一定不会出现交叉的情况。那么就区间 dp \(f_{i,j,0/1}\) 表示已经连好了 \([i,j]\)，最终落在 \(i\) 还是落在 \(j\)．注意要在后面多复制一份，因为这个是个环。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<set>
#include<map>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define fi first
#define se second
#define mp make_pair
#define pb emplace_back
#define dbg(x) cerr<<"In the line " << __LINE__ << " the " << #x << " = " << x << '\n'
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef double ld;
typedef pair<int,int>pii;
typedef pair<ll,ll>pll;
typedef vector<int>vi;
typedef vector<pii>vpii;
typedef vector<ll>vll;
typedef vector<pll>vpll;
template<typename T>void cmax(T &x,T y){x=x>y?x:y;}
template<typename T>void cmin(T &x,T y){x=x<y?x:y;}
template<typename T>
T &read(T &r){
	r=0;bool w=0;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9')w=ch=='-'?1:0,ch=getchar();
	while(ch>='0'&&ch<='9')r=r*10+ch-'0',ch=getchar();
	return r=w?-r:r;
}
const int N=2010;
int n,k;
ld x[N],y[N];
ld dis(int i,int j){
	return sqrtl((x[i]-x[j])*(x[i]-x[j])+(y[i]-y[j])*(y[i]-y[j]));
}
ld f[N][N][2];
int pre[N][N][2];
signed main(){
//	freopen("tree.in","r",stdin);
// 	freopen("tree.out","w",stdout);
	read(n);k=1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%lf%lf",&x[i],&y[i]);
		x[i+n]=x[i];
		y[i+n]=y[i];
		if(y[i]>y[k])
			k=i;
	}
	for(int i=1;i<=2*n;i++)
		if(i!=k&&i!=k+n)
			f[i][i][0]=f[i][i][1]=1e15;
	for(int len=1;len<n;len++){
		for(int i=1;i+len<=2*n;i++){
			int j=i+len;
			if((i<=k&&k<=j)||(i<=k+n&&k+n<=j)){
				int j=i+len;
				f[i][j][0]=min(f[i+1][j][0]+dis(i,i+1),f[i+1][j][1]+dis(i,j));
				pre[i][j][0]=f[i][j][0]==f[i+1][j][0]+dis(i,i+1)?0:1;
				
				f[i][j][1]=min(f[i][j-1][0]+dis(i,j),f[i][j-1][1]+dis(j-1,j));
				pre[i][j][1]=f[i][j][1]==f[i][j-1][0]+dis(i,j)?0:1;
			}
			else
				f[i][j][0]=f[i][j][1]=1e15;
		}
	}
	int l=1,r=n,o=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(f[i][i+n-1][0]<f[l][r][o])
			l=i,r=i+n-1,o=0;
		if(f[i][i+n-1][1]<f[l][r][o])
			l=i,r=i+n-1,o=1;
	}
	vi vec;
	while(l!=r){
		if(!o)vec.pb(l);
		else vec.pb(r);
		int nl,nr,no;
		if(!o)
			nl=l+1,nr=r,no=pre[l][r][o];
		else
			nl=l,nr=r-1,no=pre[l][r][o];
		l=nl;r=nr;o=no;
	}
	vec.pb(k);
	reverse(vec.begin(),vec.end());
	for(auto i:vec){
		if(i>n)cout << i-n << ' ';
		else cout << i << ' ';
	}
	return 0;
}

D 密码锁

\(k\leq 2\) 平凡。\(k=3\)：二分答案。钦定 \(\min\) 出现在第一行，枚举 \(\max\) 出现在了哪一行。对于每个拨圈，枚举其哪一个是打头的，如果符合 \(\min,\max\) 那一行的限制，那么就记录一下剩余的那一行是可以放那个值的。那么问题就变成了能否挑出值域上一个区间 \([i-mid,i]\) 满足 \(1\sim n\) 在里面都出现过。

\(k=4\)：仍然是先二分答案之后钦定 \(\min\) 位置枚举 \(\max\) 位置。

剩下两行是一个二维的问题，转成矩形加颜色，查询是否有个点被所有颜色覆盖，这样一个问题。（注意这里同一颜色即同一拨圈所要加的矩形数很少）。

我没想到的，好像也是比较通用且好写的做法是，矩形并暴力容斥成矩形交，然后扫描线就是区间加 查最大值。

我写的做法是把矩矩形的横纵坐标都离散下来，暴力拆矩形，最后也是扫描线区间加 查最大值。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<set>
#include<map>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<random>
#include<assert.h>
#define fi first
#define se second
#define mp make_pair
#define pb emplace_back
#define dbg(x) cerr<<"In the line " << __LINE__ << " the " << #x << " = " << x << '\n'
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
typedef long long ll;
typedef double ld;
typedef pair<int,int>pii;
typedef pair<ll,ll>pll;
typedef vector<int>vi;
typedef vector<pii>vpii;
typedef vector<ll>vll;
typedef vector<pll>vpll;
template<typename T>void cmax(T &x,T y){x=x>y?x:y;}
template<typename T>void cmin(T &x,T y){x=x<y?x:y;}
#define getchar()(p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
template<typename T>
T &read(T &r){
	r=0;bool w=0;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9')w=ch=='-'?1:0,ch=getchar();
	while(ch>='0'&&ch<='9')r=r*10+ch-'0',ch=getchar();
	return r=w?-r:r;
}
//mt19937 rnd(time(NULL)^(ull)(new char));
mt19937 rnd(0);
const int N=50010;
const int inf=0x7fffffff;
int n,k;
int a[N][5];
int b[N*4],m;
#define ls (x<<1)
#define rs ((x<<1)|1)
struct Node{
	int mx,tag;
}tree[N*4*4];
inline void pushup(int x){tree[x].mx=max(tree[ls].mx,tree[rs].mx);}
inline void pushdown(int x){
	if(tree[x].tag){
		int p=tree[x].tag;tree[x].tag=0;
		tree[ls].tag+=p;tree[rs].tag+=p;
		tree[ls].mx+=p;tree[rs].mx+=p;
	}
}
void build(int x,int l,int r){
	tree[x].mx=tree[x].tag=0;
	if(l==r)return ;
	int mid=(l+r)>>1;
	build(ls,l,mid);build(rs,mid+1,r);
}
void modify(int x,int tl,int tr,int l,int r,int v){
	if(tl>=l&&tr<=r){
		tree[x].mx+=v;tree[x].tag+=v;
		return ;
	}
	int mid=(tl+tr)>>1;
	pushdown(x);
	if(mid>=l)modify(ls,tl,mid,l,r,v);
	if(mid<r)modify(rs,mid+1,tr,l,r,v);
	pushup(x);
}
#undef ls
#undef rs
void solve(){
	read(n);
	for(int i=1;i<=k;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)
			read(a[j][i]);
	if(n==1){
		puts("0");
		return ;
	}
	if(k==1){
		int mn=inf,mx=0;
		for(int i=1;i<=n;i++)cmin(mn,a[i][1]),cmax(mx,a[i][1]);
		cout << mx-mn << '\n';
		return ;
	}
	if(k==2){
		int mn=inf,mx=0,s=0;
		for(int i=1;i<=n;i++)cmin(mn,min(a[i][1],a[i][2])),cmax(mx,min(a[i][1],a[i][2]));
		s=mx-mn;
		mn=inf,mx=0;
		for(int i=1;i<=n;i++)cmin(mn,max(a[i][1],a[i][2])),cmax(mx,max(a[i][1],a[i][2]));
		cmax(s,mx-mn);
		cout << s << '\n';
		return ;
	}
	if(k>=3){
		m=0;
		for(int i=1;i<=n;i++)
			for(int j=1;j<=k;j++)
				b[++m]=a[i][j];
		sort(b+1,b+m+1);
		m=unique(b+1,b+m+1)-b-1;
		for(int i=1;i<=n;i++)
			for(int j=1;j<=k;j++)
				a[i][j]=lower_bound(b+1,b+m+1,a[i][j])-b;
		auto po=[&](int x,int y){
			return a[x][(y-1+k)%k+1];
		};
		if(k==3){
			static vi ok[N*4];
			static int vis[N];
			auto check=[&](int mid){
				for(int o=2;o<=3;o++){
					for(int i=1;i<=m;i++)vi().swap(ok[i]);
					for(int i=1;i<=n;i++)vis[i]=0;
					for(int i=1;i<=n;i++){
						for(int j=1;j<=3;j++)
							if(b[po(i,j)]<=b[1]+mid&&b[po(i,j+o-1)]>=b[m]-mid)
								ok[po(i,j+(o==2?3:2)-1)].pb(i);
					}
					int l=1,r=1,ct=0;
					for(auto i:ok[1])ct+=++vis[i]==1;
					for(l=1;l<=m;l++){
						while(r<m&&b[r+1]-b[l]<=mid){
							++r;
							for(auto i:ok[r])ct+=++vis[i]==1;
						}
						if(ct==n)
							return 1;
						for(auto i:ok[l])ct-=--vis[i]==0; 
					}
				}
				return 0;
			};
			int l=0,r=30000,mid,ans=30000;
			while(l<=r){
				mid=(l+r)>>1;
				if(check(mid)){
					ans=mid;
					r=mid-1;
				}
				else l=mid+1;
			}
			cout << ans << '\n';
			return ;
		}
		else{
			static vpii addvec[N*4],delvec[N*4];
			static int fr[N*4];
			auto check=[&](int mid){
				for(int i=1,j=1;i<=m;i++){
					while(b[i]-b[j]>mid)++j;
					fr[i]=j;
				}
				for(int o=2;o<=4;o++){
					for(int i=1;i<=m;i++){
						vpii().swap(addvec[i]);
						vpii().swap(delvec[i]);
					}
					for(int i=1;i<=n;i++){
						static int posx[15],totx;
						static int posy[16],toty;
						static int c[21][21];
						totx=0;toty=0;
						vpii vec; 
						for(int j=1;j<=4;j++)
							if(b[po(i,j)]<=b[1]+mid&&b[po(i,j+o-1)]>=b[m]-mid){
								int x=0,y=0;
								for(int l=1;l<=3;l++)
									if(l!=o-1){
										if(!x)
											x=po(i,j+l);
										else{
											y=po(i,j+l);
										}
									}
								vec.pb(mp(x,y));
								posx[++totx]=fr[x];
								posx[++totx]=x+1;
								posy[++toty]=fr[y];
								if(y<m)posy[++toty]=y+1;
							}
						sort(posx+1,posx+totx+1);
						totx=unique(posx+1,posx+totx+1)-posx-1;
						sort(posy+1,posy+toty+1);
						toty=unique(posy+1,posy+toty+1)-posy-1;
						posy[toty+1]=m+1;
						for(int i=0;i<=totx;i++)
							for(int j=0;j<=toty;j++)
								c[i][j]=0;
						for(auto j:vec){
							int x=j.fi,y=j.se;
							int lx=lower_bound(posx+1,posx+totx+1,fr[x])-posx;
							int rx=lower_bound(posx+1,posx+totx+1,x+1)-posx-1;
							int down=lower_bound(posy+1,posy+toty+1,fr[y])-posy;
							int up=lower_bound(posy+1,posy+toty+1,y+1)-posy-1;
							for(int l=lx;l<=rx;l++)
								c[l][down]++,c[l][up+1]--;
						}
						vpii lstvec;
						for(int p=1;p<=totx;p++){
							for(auto i:lstvec)
								delvec[posx[p]].pb(mp(i.fi,i.se));
							vpii().swap(lstvec);
							int lst=0,op=0;
							for(int q=1;q<=toty;q++){
								c[p][q]+=c[p][q-1];
								int now=c[p][q]>0;
								if(!lst)lst=q,op=now;
								else{
									if(op!=now){
										if(op==1){
											int ydown=posy[lst],yup=posy[q]-1;
											addvec[posx[p]].pb(mp(ydown,yup));
											lstvec.pb(mp(ydown,yup));
										}
										lst=q;op=now;
									}
								}
							}
							int ydown=posy[lst],yup=m;
							if(op==1)addvec[posx[p]].pb(mp(ydown,yup)),lstvec.pb(mp(ydown,yup));
						}
					}
					build(1,1,m);
					for(int i=1;i<=m;i++){
						map<pii,int>vis;
						for(auto j:addvec[i])
							vis[j]++;
						for(auto j:delvec[i])
							vis[j]--;
						for(auto j:vis)
							if(j.se)
								modify(1,1,m,j.fi.fi,j.fi.se,j.se);
						if(tree[1].mx>=n)
							return 1;
					}
				}
				return 0;
			};
			int l=0,r=30000,mid,ans=30000;
			while(l<=r){
				mid=(l+r)>>1;
				if(check(mid)){
					ans=mid;
					r=mid-1;
				}
				else l=mid+1;
			}
			cout << ans << '\n';
			return ;
		}
	}
}
signed main(){
	freopen("lock.in","r",stdin);
 	freopen("lock.out","w",stdout);
	int T;read(T);read(k);
	while(T--)solve();
	return 0;
}