「题解」ARC151D Binary Representations and Queries
克罗内克积（Kronecker Product）
大小为 \(m\times n\) 的矩阵 \(A\) 和大小为 \(p\times q\) 的矩阵 \(B\) 的克罗内克积 \(A\otimes B\) 被定义为：
显然不满足交换律，但是容易验证其满足结合律。
性质 1：\((A\otimes B)(C\otimes D)=(AC)\otimes (BD)\)，其中 \(AC\) 表示矩阵 \(A\) 与 \(C\) 的乘积。证明直接按定义写出矩阵来即可。
推论 1：\((A_1\otimes B_1\otimes \cdots \otimes Z_1)(A_2\otimes B_2\otimes \cdots \otimes Z_2)\cdots (A_n\otimes B_n\otimes \cdots \otimes Z_n)=(A_1A_2\cdots A_n)\otimes (B_1B_2\cdots B_n)\cdots \otimes (Z_1Z_2\cdots Z_n)\)
根据性质 1，不难通过每次取出每个括号的最前面的矩阵来证明。
推论 2：
假设 \(A,B,C,I_n\) 是大小为 \(n\times n\) 的矩阵，其中 \(I_n\) 为单位矩阵。那么即有：\(A \otimes B \otimes C = (A\otimes I_n\otimes I_n)(I_n\otimes B\otimes I_n)(I_n\otimes I_n\otimes C)= (A \otimes I_n \otimes I_n)(I_n \otimes B \otimes I_n)(I_n \otimes I_n \otimes C)\)．
同样可以扩展到 \(k\) 个矩阵的情况。
再根据推论 1 将最后一个式子拆开，然后再以任意的方式合并，可以得出相邻的两个括号中间的矩阵 \(A\) 在夹在 \(I_n\) 中不同的位置时可以任意交换，而夹在相同的位置时则不行。
也就是 \((A \otimes I_n \otimes I_n)(I_n \otimes B \otimes I_n)=(I_n \otimes B \otimes I_n)(A \otimes I_n \otimes I_n)\) 成立，但不会有 \((A \otimes I_n \otimes I_n)(B \otimes I_n \otimes I_n)=(B \otimes I_n \otimes I_n)(A \otimes I_n \otimes I_n)\)
（不难理解，\(n=1\) 相当于矩阵乘法具有交换律了）
回到 ARC151D，对于仅有一个长度为 2 的向量 $\mathbf{a} $ 的特殊情况，构造矩阵 \(A_0,A_1\) 使得操作 \(Y=0\) 时等价于 \(\mathbf{a}\gets A_0\mathbf{a}\)，操作 \(Y=1\) 时等价于 \(\mathbf{a}\gets A_1\mathbf{a}\)．
仿照 FWT 的方法，对于长度为 \(2^n\) 的向量 \(\mathbf{a}\) 如果只想对第 \(X\) 位进行操作，那么相当于 \(\mathbf{a}\gets (I_2\otimes \cdots \otimes I_2\otimes A_Y\otimes I_2\otimes \cdots \otimes I_2)\mathbf{a}\)，这里一共有 \(n\) 个大小为 \(2\times 2\) 的矩阵，\(A_Y\) 在第 \(X\) 个（最开头为第 0 个）。
根据结论，可以将 \(A_Y\) 处在不同位置的矩阵进行交换，但是 \(A_Y\) 相同的则不能。先将 \(X\) 相同的矩阵移动到一起，再根据推论 1 可以将同一 \(X\) 的矩阵乘在一起看作一个矩阵 \(B_X\)．
那么现在问题就变成了计算 \((B_0\otimes I_n\otimes \cdots)(I_n\otimes B_1\otimes I_n\otimes \cdots)\cdots (I_n\otimes \cdots \otimes I_n\otimes B_n)\mathrm{a}\)．
考虑左乘上一个 \((I_n\otimes \cdots \otimes B_i\otimes \cdots \otimes I_n)\) 具体是在固定除了第 \(i\) 位以外的所有位置，然后单独对 \(i\) 这一位左乘上 \(B_i\)（人话：对于每个第 \(X\) 为 \(0\) 的数 \(v\)，将 \(a_v,a_{v+2^{X}}\) 构成的向量左乘 \(B_i\)）
直接按照这个写，就是和平常写高维前缀和 / 高维后缀和的 FMT 写法一样。
或者按照 FWT_xor 的写法也可以，就是把第 \(i\) 层合并的时候进行的线性变换改成左乘上 \(B_i\) 这个样子。
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<ctime>
#include<random>
#include<assert.h>
#define pb emplace_back
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define dbg(x) cerr<<"In Line "<< __LINE__<<" the "<<#x<<" = "<<x<<'\n';
#define dpi(x,y) cerr<<"In Line "<<__LINE__<<" the "<<#x<<" = "<<x<<" ; "<<"the "<<#y<<" = "<<y<<'\n';
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int>pii;
typedef pair<ll,int>pli;
typedef pair<ll,ll>pll;
typedef pair<int,ll>pil;
typedef vector<int>vi;
typedef vector<ll>vll;
typedef vector<pii>vpii;
typedef vector<pil>vpil;
template<typename T>T cmax(T &x, T y){return x=x>y?x:y;}
template<typename T>T cmin(T &x, T y){return x=x<y?x:y;}
template<typename T>
T &read(T &r){
r=0;bool w=0;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9')w=ch=='-'?1:0,ch=getchar();
while(ch>='0'&&ch<='9')r=r*10+(ch^48),ch=getchar();
return r=w?-r:r;
}
template<typename T1,typename... T2>
void read(T1 &x,T2& ...y){read(x);read(y...);}
const int mod=998244353;
inline void cadd(int &x,int y){x=(x+y>=mod)?(x+y-mod):(x+y);}
inline void cdel(int &x,int y){x=(x-y<0)?(x-y+mod):(x-y);}
inline int add(int x,int y){return (x+y>=mod)?(x+y-mod):(x+y);}
inline int del(int x,int y){return (x-y<0)?(x-y+mod):(x-y);}
int qpow(int x,int y){
int s=1;
while(y){
if(y&1)s=1ll*s*x%mod;
x=1ll*x*x%mod;
y>>=1;
}
return s;
}
const int N=18;
int n,q;
int a[(1<<N)+10];
int f[N][2][2];
int g[2][2][2],h[2][2];
void FWT(){
for(int o=2,k=1,c=0;c<n;o<<=1,k<<=1,++c){
for(int i=0;i<(1<<n);i+=o){
for(int j=0;j<k;j++){
int x=a[i+j],y=a[i+j+k];
int u=add(1ll*x*f[c][0][0]%mod,1ll*y*f[c][0][1]%mod);
int v=add(1ll*x*f[c][1][0]%mod,1ll*y*f[c][1][1]%mod);
a[i+j]=u;a[i+j+k]=v;
}
}
}
}
signed main(){
#ifdef do_while_true
// assert(freopen("data.in","r",stdin));
// assert(freopen("data.out","w",stdout));
#endif
read(n);read(q);
for(int i=0;i<(1<<n);i++)read(a[i]);
for(int i=0;i<n;i++)f[i][0][0]=f[i][1][1]=1;
g[0][0][0]=g[0][1][0]=g[0][1][1]=1;
g[1][0][0]=g[1][0][1]=g[1][1][1]=1;
while(q--){
int x,y;read(x,y);
for(int i=0;i<2;i++)
for(int j=0;j<2;j++)
for(int k=0;k<2;k++)
cadd(h[i][j],1ll*g[y][i][k]*f[x][k][j]%mod);
for(int i=0;i<2;i++)
for(int j=0;j<2;j++)
f[x][i][j]=h[i][j],h[i][j]=0;
}
FWT();
for(int i=0;i<(1<<n);i++)cout << a[i] << ' ';
#ifdef do_while_true
cerr<<'\n'<<"Time:"<<1.0*clock()/CLOCKS_PER_SEC*1000<<" ms"<<'\n';
#endif
return 0;
}
