「题解」洛谷 P8850 [JRKSJ R5] Jalapeno and Garlic

2022.12 upd：原先代码锅了，重写了一份。

看上去是比较常规的题，应当需要更灵敏的直觉和更快的速度解决这道题。

首先考虑若已经确定一个 $x$，那么贪心修改策略就是随便找一个非 $0$ 的位置操作，因为早操作晚操作这个地方都要操作。

之后就考虑一个距离 $x$ 为 $i$ 有一个 $1$，那么这个 $1$ 对 $x$ 处的答案 $ans_x$ 的贡献系数是确定的，设其为 $E(i)$．

考虑解出这个 $E(i)$，其实际意义是有一个模 $n$ 意义下的变量 $x$，每次有 $\frac{1}{2}$ 的概率 $+1$ 或者 $-1$，求 $x$ 变为 $0$ 步数的期望。则可以列出方程 $E(i)=\frac{1}{2}(E(i-1)+E(i+1))+1$ 即 $E(i+1)=2E(i)-E(i-1)-2$，当然内部的 $i,i-1,i+1$ 都是模 $n$ 意义下的。

边界情况是 $E(0)=0$，采用主元法解这个方程，设 $E(1)=x$，则通过 $E(2)=2E(1)-E(0)-2$ 可得 $E(2)$ 是关于 $x$ 的一次多项式，类似地能继续往后解出 $E(n)$ 是关于 $x$ 的一次多项式，最终 $E(n)=E(0)=0$ 解出 $x$，再往回代入求出其他所有 $E$ 即可。

打表观察 $E(i)$，容易发现在前半部分 $E(i)$ 是关于 $i$ 的二次函数（具体地，$E(i)-E(i-1)=n-(2i-1)$），后半部分是对称的。这个时候可以发现题面中的取模实际上是假的，因为答案最大是 $\mathcal{O}(n^3a)$ 级别的，__int128 足够存下。

所以可以考虑计算出所有 $ans_x$，以一个 $a_y$ 考虑其对所有 $ans_x$ 的贡献，则为向左向右各一个区间二次函数加。利用三阶差分化为单点加即可。

时间复杂度线性。

#include<cstdio>
#include<vector>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<ctime>
#include<random>
#include<assert.h>
#define pb emplace_back
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define dbg(x) cerr<<"In Line "<< __LINE__<<" the "<<#x<<" = "<<x<<'\n'
#define dpi(x,y) cerr<<"In Line "<<__LINE__<<" the "<<#x<<" = "<<x<<" ; "<<"the "<<#y<<" = "<<y<<'\n'
#define ll i128
using namespace std;
//typedef long long ll;
typedef __int128 i128;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int>pii;
typedef pair<ll,int>pli;
typedef pair<ll,ll>pll;
typedef pair<int,ll>pil;
typedef vector<int>vi;
typedef vector<ll>vll;
typedef vector<pii>vpii;
typedef vector<pil>vpil;
template<typename T>T cmax(T &x, T y){return x=x>y?x:y;}
template<typename T>T cmin(T &x, T y){return x=x<y?x:y;}
template<typename T>
T &read(T &r){
    r=0;bool w=0;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9')w=ch=='-'?1:0,ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9')r=r*10+(ch^48),ch=getchar();
    return r=w?-r:r;
}
template<typename T1,typename... T2>
void read(T1 &x,T2& ...y){read(x);read(y...);}
const int mod=1004535809;
inline void cadd(int &x,int y){x=(x+y>=mod)?(x+y-mod):(x+y);}
inline void cdel(int &x,int y){x=(x-y<0)?(x-y+mod):(x-y);}
inline int add(int x,int y){return (x+y>=mod)?(x+y-mod):(x+y);}
inline int del(int x,int y){return (x-y<0)?(x-y+mod):(x-y);}
int qpow(int x,int y){
    int s=1;
    while(y){
        if(y&1)s=1ll*s*x%mod;
        x=1ll*x*x%mod;
        y>>=1;
    }
    return s;
}
mt19937 rnd(time(NULL)^(ull)(new char));
inline int rd(int a,int b){
    return a+rnd()%(b-a+1);
}
#define Win do{puts("Yes");return ;}while(0)
#define Lose do{puts("No");return ;}while(0)
#define Alice do{puts("Alice");return ;}while(0)
#define Bob do{puts("Bob");return ;}while(0)
#define Fuyi do{puts("-1");return ;}while(0)
#define Line cerr << "----------\n"
char outc[201];
int outct;
void print(i128 x){
    do{
        outc[++outct]=x%10+'0';
        x/=10;
    }while(x);
    while(outct)putchar(outc[outct--]);
}
const int N=1000010;
int n;
ll f[N],w[N];
ll s[N*2];
void calc(int rev){
	for(int i=1;i<=2*n+3;i++)s[i]+=s[i-1];
	for(int i=1;i<=2*n+3;i++)s[i]+=s[i-1];
	for(int i=1;i<=2*n+3;i++)s[i]+=s[i-1];
	for(int i=1;i<=2*n+3;i++){
		int id=(i-1)%n+1;
		if(rev)id=n-id+1;
		f[id]+=s[i];
		s[i]=0;
	} 
}
signed main(){
    #ifdef do_while_true
//      assert(freopen("data.in","r",stdin));
//      assert(freopen("data.out","w",stdout));
    #endif
    read(n);
    for(int i=1;i<=n;i++)read(w[i]);
    if(n&1){
    	i128 sum=(ll)(n+1)*(n/2)/2;
    	for(int i=1;i<=n;i++){
    		s[i+1]+=(n-1)*w[i];
    		s[i+2]+=(-n-1)*w[i];
    		s[i+n/2+1]+=-sum*w[i];
    		s[i+n/2+2]+=(2*sum+2)*w[i];
    		s[i+n/2+3]+=-sum*w[i];
		}
		calc(0);
    	for(int i=1;i<=n;i++){
    		s[i+1]+=(n-1)*w[n-i+1];
    		s[i+2]+=(-n-1)*w[n-i+1];
    		s[i+n/2+1]+=-sum*w[n-i+1];
    		s[i+n/2+2]+=(2*sum+2)*w[n-i+1];
    		s[i+n/2+3]+=-sum*w[n-i+1];
		}
		calc(1);
	}
	else{
    	i128 sum=(ll)n*(n/2)/2;
    	for(int i=1;i<=n;i++){
    		s[i+1]+=(n-1)*w[i];
    		s[i+2]+=(-n-1)*w[i];
    		s[i+n/2+1]+=(-sum+1)*w[i];
    		s[i+n/2+2]+=(2*sum+1)*w[i];
    		s[i+n/2+3]+=-sum*w[i];
		}
		calc(0);
    	for(int i=1;i<=n;i++){
    		s[i+1]+=(n-1)*w[n-i+1];
    		s[i+2]+=(-n-1)*w[n-i+1];
    		s[i+n/2+1]+=(-sum+1)*w[n-i+1];
    		s[i+n/2+2]+=(2*sum+1)*w[n-i+1];
    		s[i+n/2+3]+=-sum*w[n-i+1];
		}
		calc(1);
		for(int i=1;i<=n;i++)f[(i+n/2-1)%n+1]-=w[i]*sum;
	}
    ll mx=f[1];
    for(int i=2;i<=n;i++)mx=min(mx,f[i]);
    print(mx%mod);
    #ifdef do_while_true
        cerr<<'\n'<<"Time:"<<1.0*clock()/CLOCKS_PER_SEC*1000<<" ms"<<'\n';
    #endif
    return 0;
}