「题解」Codeforces 1083C Max Mex

写倍增 LCA 被卡常了/fn

首先考虑令 \(a_i\) 为权值是 \(i\) 的点的编号。询问实际上是想要求出一个最大的前缀使得这个前缀里面的点在树上构成了一条链。

不难看出这个信息是可以合并的，也就是可以用线段树记录区间 \([l,r]\) 内的点是否能够被一条链所覆盖，并且这条链最短时两个端点是什么。只要能够合并两条链，那么单点修改也是容易做到的。

如何合并两条链？不需要分类讨论的做法是，把四个点按照 dfs 序排序之后相邻两两距离之和 \(\div 2\)（包括头尾）求出四个点形成的虚树大小，然后再枚举点对，看是否有一个点对之间的距离等于这个虚树大小，如果有的话端点就是这两个点，否则形成不了链。

常数有点大，需要用树剖求 LCA，时间复杂度是 \(\mathcal{O}(n\log^2 n)\)．

#include<cstdio>
#include<vector>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<ctime>
#include<set>
#include<random>
#include<assert.h>
#define pb emplace_back
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define dbg(x) cerr<<"In Line "<< __LINE__<<" the "<<#x<<" = "<<x<<'\n'
#define dpi(x,y) cerr<<"In Line "<<__LINE__<<" the "<<#x<<" = "<<x<<" ; "<<"the "<<#y<<" = "<<y<<'\n'
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int>pii;
typedef pair<ll,int>pli;
typedef pair<ll,ll>pll;
typedef pair<int,ll>pil;
typedef vector<int>vi;
typedef vector<ll>vll;
typedef vector<pii>vpii;
typedef vector<pil>vpil;
template<typename T>T cmax(T &x, T y){return x=x>y?x:y;}
template<typename T>T cmin(T &x, T y){return x=x<y?x:y;}
template<typename T>
T &read(T &r){
	r=0;bool w=0;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9')w=ch=='-'?1:0,ch=getchar();
	while(ch>='0'&&ch<='9')r=r*10+(ch^48),ch=getchar();
	return r=w?-r:r;
}
template<typename T1,typename... T2>
void read(T1 &x,T2& ...y){read(x);read(y...);}
const int mod=998244353;
inline void cadd(int &x,int y){x=(x+y>=mod)?(x+y-mod):(x+y);}
inline void cdel(int &x,int y){x=(x-y<0)?(x-y+mod):(x-y);}
inline int add(int x,int y){return (x+y>=mod)?(x+y-mod):(x+y);}
inline int del(int x,int y){return (x-y<0)?(x-y+mod):(x-y);}
int qpow(int x,int y){
	int s=1;
	while(y){
		if(y&1)s=1ll*s*x%mod;
		x=1ll*x*x%mod;
		y>>=1;
	}
	return s;
}
const int N=200010;
int n;
int p[N],vis[N];
int dep[N];
int dfn[N],dft;
int top[N],fa[N],siz[N],son[N];
vi eg[N];
int LCA(int x,int y){
	while(top[x]!=top[y]){
		if(dep[top[x]]>dep[top[y]]){
			x=fa[top[x]];
		}
		else y=fa[top[y]];
	}
	return dep[x]<dep[y]?x:y;
}
int dis(int x,int y){
	return dep[x]+dep[y]-2*dep[LCA(x,y)];
}
void dfs1(int x,int f){
	dfn[x]=++dft;
	fa[x]=f;siz[x]=1;dep[x]=dep[f]+1;
	for(auto v:eg[x])if(v!=f)dfs1(v,x),siz[x]+=siz[v],son[x]=siz[v]>siz[son[x]]?v:son[x];
}
void dfs2(int x,int t){
	top[x]=t;
	if(son[x])dfs2(son[x],t);
	for(auto v:eg[x])
		if(v!=fa[x]&&v!=son[x])
			dfs2(v,v);
}
#define ls (x<<1)
#define rs ((x<<1)|1)
pii tree[N<<2];
pii merge(pii x,pii y){
	int a=x.fi,b=x.se,c=y.fi,d=y.se;
	vi vec;vec.pb(a);vec.pb(b);vec.pb(c);vec.pb(d);
	sort(vec.begin(),vec.end(),[&](const int &x,const int &y){return dfn[x]<dfn[y];});
	int sum=(dis(vec[0],vec[1])+dis(vec[1],vec[2])+dis(vec[2],vec[3])+dis(vec[3],vec[0]))/2;
	for(int i=0;i<=3;i++)
		for(int j=i+1;j<=3;j++)
			if(dis(vec[i],vec[j])==sum)return mp(vec[i],vec[j]);
	return mp(0,0);
}
int ok(int x){
	return tree[x].fi>0;
}
inline void pushup(int x){
	if(ok(ls)&&ok(rs))
		tree[x]=merge(tree[ls],tree[rs]);
	else tree[x]=mp(0,0);
}
void build(int x,int l,int r){
	if(l==r){
		tree[x]=mp(vis[l],vis[l]);
		return ;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	build(ls,l,mid);build(rs,mid+1,r);
	pushup(x);
}
void modify(int x,int tl,int tr,int p){
	if(tl==tr){
		tree[x]=mp(vis[p],vis[p]);
		return ;
	}
	int mid=(tl+tr)>>1;
	if(p<=mid)modify(ls,tl,mid,p);
	else modify(rs,mid+1,tr,p);
	pushup(x);
}
pii query(int x,int tl,int tr,int l,int r){
	if(tl>=l&&tr<=r)return tree[x];
	int mid=(tl+tr)>>1;
	pii s;
	if(mid>=l&&mid<r){
		pii s=query(ls,tl,mid,l,r);
		pii t=query(rs,mid+1,tr,l,r);
		if(!s.fi || !t.fi)return mp(0,0);
		return merge(s,t);
	}
	else{
		if(mid>=l)return query(ls,tl,mid,l,r);
		return query(rs,mid+1,tr,l,r);
	}
}
#undef ls
#undef rs
signed main(){
	#ifdef do_while_true
//		assert(freopen("data.in","r",stdin));
//		assert(freopen("data.out","w",stdout));
	#endif
	read(n);
	for(int i=1;i<=n;i++)vis[read(p[i])]=i;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		int x;read(x);
		eg[x].pb(i);
	}
	dfs1(1,0);
	dfs2(1,1);
	build(1,0,n-1);
	int q;read(q);
	while(q--){
		int op;read(op);
		if(op==2){
//			cerr << "ans = ";
			int l=1,r=n-1,mid,ans=1;
			while(l<=r){
				mid=(l+r)>>1;
				pii t=query(1,0,n-1,0,mid);
				if(t.fi){
					ans=mid;
					l=mid+1;
				}
				else{
					r=mid-1;
				}
			}
			cout << ans+1 << '\n';
		}
		else{
			int x,y;read(x,y);
			swap(p[x],p[y]);
			vis[p[x]]=x;vis[p[y]]=y;
			modify(1,0,n-1,p[x]);
			modify(1,0,n-1,p[y]);
		}
	}
    #ifdef do_while_true
		cerr<<'\n'<<"Time:"<<1.0*clock()/CLOCKS_PER_SEC*1000<<" ms"<<'\n';
	#endif
	return 0;
}