「题解」Codeforces 1260F Colored Tree

令 \(len_i=r_i-l_i=1\)，\(all=\prod len_i\)，如果一对点 \((x,y)\) 若都能染成颜色 \(c\)，则对答案贡献 \(dis(x,y)\frac{all}{len_xlen_y}\)．

对颜色编号维进行扫描线，现在问题就是每次将一个点染成黑色或者白色。求所有黑色点对 \((x,y)\) 的 \(dis(x,y)\frac{all}{len_xlen_y}\) 之和。

上点分树，就把 \((dep_x+dep_y)\frac{all}{len_xlen_y}\) 拆成 \(\frac{dep_xall}{len_x}\cdot \frac{1}{len_y}\) 和 \(\frac{all}{len_x}\cdot \frac{dep_y}{len_y}\)，对于每个分治中心统计其作为分治中心的连通块中黑点的 \(\frac{1}{len_y}\) 和 \(\frac{dep_y}{len_y}\) 的和即可。要去重所以还需要统计分治中心的各个子树内部的。

时间复杂度 \(\mathcal{O}((n+r)\log n)\)．

虽然是一只 log，但是常数好像特别大，也有可能是点分树写丑了。

#include<cstdio>
#include<vector>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<ctime>
#include<random>
#include<set>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<assert.h>
#define pb emplace_back
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define dbg(x) cerr<<"In Line "<< __LINE__<<" the "<<#x<<" = "<<x<<'\n'
#define dpi(x,y) cerr<<"In Line "<<__LINE__<<" the "<<#x<<" = "<<x<<" ; "<<"the "<<#y<<" = "<<y<<'\n'
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int>pii;
typedef pair<ll,int>pli;
typedef pair<ll,ll>pll;
typedef pair<int,ll>pil;
typedef vector<int>vi;
typedef vector<ll>vll;
typedef vector<pii>vpii;
typedef vector<pil>vpil;
template<typename T>T cmax(T &x, T y){return x=x>y?x:y;}
template<typename T>T cmin(T &x, T y){return x=x<y?x:y;}
template<typename T>
T &read(T &r){
	r=0;bool w=0;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9')w=ch=='-'?1:0,ch=getchar();
	while(ch>='0'&&ch<='9')r=r*10+(ch^48),ch=getchar();
	return r=w?-r:r;
}
template<typename T1,typename... T2>
void read(T1 &x,T2& ...y){read(x);read(y...);}
const int mod=1000000007;
inline void cadd(int &x,int y){x=(x+y>=mod)?(x+y-mod):(x+y);}
inline void cdel(int &x,int y){x=(x-y<0)?(x-y+mod):(x-y);}
inline int add(int x,int y){return (x+y>=mod)?(x+y-mod):(x+y);}
inline int del(int x,int y){return (x-y<0)?(x-y+mod):(x-y);}
int qpow(int x,int y){
	int s=1;
	while(y){
		if(y&1)s=1ll*s*x%mod;
		x=1ll*x*x%mod;
		y>>=1;
	}
	return s;
}
const int N=100010;
int n;
int ans,sum;
int l[N],r[N],len[N],il[N],all=1,mxr;
int s1[N*3],s2[N*3],tot;
vi eg[N];
vpii vec[N];
int rt,rs,siz[N],mx[N],vis[N];
int fa[N];
unordered_map<int,int>dep[N],bl[N];
void getrt(int x,int fa){
	siz[x]=mx[x]=1;
	for(auto v:eg[x]){
		if(v==fa||vis[v])continue;
		getrt(v,x);
		siz[x]+=siz[v];
		cmax(mx[x],siz[v]);
	}
	cmax(mx[x],rs-siz[x]);
	if(mx[x]<mx[rt])rt=x;
}
void dfs1(int x,int fa,int t){
	dep[t][x]=dep[t][fa]+1;
	bl[t][x]=tot;
	for(auto v:eg[x])
		if(!vis[v]&&v!=fa)
			dfs1(v,x,t);
}
void dfz(int x){
	vis[x]=1;
	for(auto v:eg[x])if(!vis[v]){
		++tot;
		dfs1(v,x,x);
	}
	int tmp=rs;
	for(auto v:eg[x])if(!vis[v]){
		rs=siz[v]>siz[x]?tmp-siz[x]:siz[v];
		rt=0;
		getrt(v,x);
		fa[rt]=x;
		dfz(rt);
	}
}
void Ins(int x){
	int t=x;
	while(t){
		int p=bl[t][x];
		cadd(sum,1ll*dep[t][x]*il[x]%mod*all%mod*s1[t]%mod);
		cadd(sum,1ll*all*il[x]%mod*s2[t]%mod);
		//
		if(t!=x){
			cdel(sum,1ll*dep[t][x]*il[x]%mod*all%mod*s1[p]%mod);
			cdel(sum,1ll*all*il[x]%mod*s2[p]%mod);
		}
		//
		cadd(s1[t],il[x]);
		cadd(s2[t],1ll*dep[t][x]*il[x]%mod);
		if(t!=x){
			cadd(s1[p],il[x]);
			cadd(s2[p],1ll*dep[t][x]*il[x]%mod);
		}
		t=fa[t];
	}
}
void Del(int x){
	int t=x;
	while(t){
		int p=bl[t][x];
		cdel(s1[t],il[x]);
		cdel(s2[t],1ll*dep[t][x]*il[x]%mod);
		if(t!=x){
			cdel(s1[p],il[x]);
			cdel(s2[p],1ll*dep[t][x]*il[x]%mod);
		}
		//
		cdel(sum,1ll*dep[t][x]*il[x]%mod*all%mod*s1[t]%mod);
		cdel(sum,1ll*all*il[x]%mod*s2[t]%mod);
		//
		if(t!=x){
			cadd(sum,1ll*dep[t][x]*il[x]%mod*all%mod*s1[p]%mod);
			cadd(sum,1ll*all*il[x]%mod*s2[p]%mod);
		}
		t=fa[t];
	}
}
signed main(){
	#ifdef do_while_true
//		assert(freopen("data.in","r",stdin));
//		assert(freopen("data.out","w",stdout));
	#endif
	read(n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		read(l[i],r[i]);cmax(mxr,r[i]);
		len[i]=r[i]-l[i]+1;
		all=1ll*all*len[i]%mod;
		il[i]=qpow(len[i],mod-2);
		vec[l[i]].pb(mp(i,1));
		vec[r[i]+1].pb(mp(i,-1));
	}
	for(int i=1,u,v;i<n;i++){
		read(u,v);
		eg[u].pb(v);eg[v].pb(u);
	}
	tot=n;
	mx[rt=0]=N;rs=n;
	getrt(1,0);
	dfz(rt);
	for(int o=1;o<=mxr;o++){
		for(auto i:vec[o])
			if(i.se==1)Ins(i.fi);
			else Del(i.fi);
		cadd(ans,sum);
	}
	cout << ans << '\n';
    #ifdef do_while_true
		cerr<<'\n'<<"Time:"<<1.0*clock()/CLOCKS_PER_SEC*1000<<" ms"<<'\n';
	#endif
	return 0;
}