「题解」牛客练习赛105 F 胖头鱼头胖

先对每个位置 \(i\) 对集合幂级数 \(x^0+x^1+\cdots +x+x^{a_i}\) FWT，那么询问就是将区间里面所有 FWT 后的集合幂级数作点积再 IFWT 后提取 \(x^s\) 的系数。

首先可以通过对于每个 \(x^k\) 记录系数的前缀积（注意有 \(0\) 可能不存在逆元，所以实际上是一个 pair，第一位置是非零元素的积，第二位置是 \(0\) 的个数）来求出这个集合幂级数，因为只需要求 \(x^s\) 系数而不需要求出所有系数，所以不必 IFWT，直接根据 IFWT 的公式算 \(x^s\) 即可。这里是 \([x^i]F\) 对 \([x^s]IFWT(F)\) 的贡献系数是 \(\frac{1}{2^k}(-1)^{|i\cap S|}\)，其中 \(2^k\) 是这个集合幂级数的长度，即 \(2^{10}\)．

总时间复杂度是 \(\mathcal{O}(nk2^k+q2^k)\)．

#include<cstdio>
#include<vector>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<ctime>
#include<random>
#include<assert.h>
#define pb emplace_back
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define dbg(x) cerr<<"In Line "<< __LINE__<<" the "<<#x<<" = "<<x<<'\n';
#define dpi(x,y) cerr<<"In Line "<<__LINE__<<" the "<<#x<<" = "<<x<<" ; "<<"the "<<#y<<" = "<<y<<'\n';
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int>pii;
typedef pair<ll,int>pli;
typedef pair<ll,ll>pll;
typedef pair<int,ll>pil;
typedef vector<int>vi;
typedef vector<ll>vll;
typedef vector<pii>vpii;
typedef vector<pil>vpil;
template<typename T>T cmax(T &x, T y){return x=x>y?x:y;}
template<typename T>T cmin(T &x, T y){return x=x<y?x:y;}
template<typename T>
T &read(T &r){
	r=0;bool w=0;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9')w=ch=='-'?1:0,ch=getchar();
	while(ch>='0'&&ch<='9')r=r*10+(ch^48),ch=getchar();
	return r=w?-r:r;
}
template<typename T1,typename... T2>
void read(T1 &x,T2& ...y){read(x);read(y...);}
const int mod=1000000007;
const int inv2=500000004;
const int inv1024=71289063;
inline void cadd(int &x,int y){x=(x+y>=mod)?(x+y-mod):(x+y);}
inline void cdel(int &x,int y){x=(x-y<0)?(x-y+mod):(x-y);}
inline int add(int x,int y){return (x+y>=mod)?(x+y-mod):(x+y);}
inline int del(int x,int y){return (x-y<0)?(x-y+mod):(x-y);}
int qpow(int x,int y){
	int s=1;
	while(y){
		if(y&1)s=1ll*s*x%mod;
		x=1ll*x*x%mod;
		y>>=1;
	}
	return s;
}
void FWTxor(int *a,int n,int op){
	for(int o=2,k=1;o<=n;o<<=1,k<<=1){
		for(int i=0;i<n;i+=o){
			for(int j=0;j<k;++j){
				int x=a[i+j],y=a[i+j+k];
				if(op==1)a[i+j]=add(x,y),a[i+j+k]=del(x,y);
				else a[i+j]=1ll*add(x,y)*inv2%mod,a[i+j+k]=del(x,y)*inv2%mod;
			}
		}
	}
}
int n,q;
int a[1010];
int f[1010][1033];
pii s[1010][1033];
int qmul(int l,int r,int i){
	pii x=s[l-1][i],y=s[r][i];
	if(y.se-x.se)return 0;
	return 1ll*y.fi*qpow(x.fi,mod-2)%mod;
}
signed main(){
	#ifdef do_while_true
//		assert(freopen("data.in","r",stdin));
//		assert(freopen("data.out","w",stdout));
	#endif
	read(n,q);
	for(int i=0;i<1024;i++)s[0][i]=mp(1,0);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		read(a[i]);
		for(int j=0;j<=a[i];j++)f[i][j]=1;
		FWTxor(f[i],1024,1);
		for(int j=0;j<1024;j++){
			s[i][j]=s[i-1][j];
			if(f[i][j])s[i][j]=mp(1ll*s[i][j].fi*f[i][j]%mod,s[i][j].se);
			else s[i][j].se++;
		}
	}
	while(q--){
		int l,r,k;read(l,r,k);
		int ans=0;
		for(int i=0;i<1024;i++){
			if(__builtin_popcount(k&i)&1)
				cdel(ans,qmul(l,r,i));
			else
				cadd(ans,qmul(l,r,i));
		}
		cout << 1ll*ans*inv1024%mod << '\n';
	}
    #ifdef do_while_true
//		cerr<<'\n'<<"Time:"<<1.0*clock()/CLOCKS_PER_SEC*1000<<" ms"<<'\n';
	#endif
	return 0;
}