「题解」洛谷 P8768 [蓝桥杯 2021 国 A] 积木

可能在多项式大手子面前是一个基础内容，可是菜菜只能靠青蛙一步步教导才会......因为没写代码，可能有的式子还推错了。

首先确定 $H_x$ 合法取值范围也就是 $[w+Lx,w+Rx]$，个数是 $\mathcal{O}(Rn)$ 的。

那么求出 $H_x-H_1$ 的可能的差值每种有多少个方案，$H_y-H_x$ 的可能的差值每种有多少个方案，再适当地点积起来就得到了答案。

现在问题就是求 $H_r-H_l=i$ 的方案数，令 $n=r-l$，$F$ 为答案的 OGF，则有：

$$F=(z^L+z^{L+1}+\cdots +z^R)^n=\left(\frac{z^L-z^{R+1}}{1-z}\right)^n$$

提出 $z^{Ln}$ 并令 $k=R+1-L$ 那么即为求 $F=\left(\frac{1-z^k}{1-z}\right)^n$ 的各项系数。

考虑对 $F$ 求导，然后尝试化成整式递推的形式。

$$\begin{aligned} F'&=n\cdot \left(\frac{1-z^k}{1-z}\right)^{n-1}\cdot \frac{(k-1)z^k-kz^{k-1}+1}{(1-z)^2} \\ &=\frac{(1-z^k)^n}{(1-z)^n}\cdot \frac{n\cdot ((k-1)z^k-kz^{k-1}+1)}{(1-z)(1-z^k)} \\ &=F\cdot \frac{n\cdot ((k-1)z^k-kz^{k-1}+1)}{(1-z)(1-z^k)} \end{aligned}$$

注意 $F'$ 是 $F$ 乘上一个分子分母仅有 $\mathcal{O}(1)$ 项的有理分式，通分之后得到：

$$(1-z)(1-z^k)F'=F\cdot n\cdot ((k-1)z^k-kz^{k-1}+1)$$

左右两边提取 $[z^m]$，即可得到 $F$ 的整式递推：

$$(m-k)f_{m-k}-(m-k+1)f_{m-k+1}-mf_m+(m+1)f_{m+1}=n(k-1)f_{m-k}-nkf_{m-k+1}+nf_m$$

可以 $\mathcal{O}(nk)$ 暴力计算。