拉格朗日反演推导扩展Cayley公式
萌新初学拉格朗日反演，这个看起来很对所以应该是对的吧？
把 \(n\) 个点连成有 \(k\) 棵树的森林，并且要求 \(1,2,\cdots,k\) 这 \(k\) 个点两两不在同一棵树的方案数。
首先通过看错题求个连成 \(k\) 棵有根树的个数，并且树和树之间有顺序。
令 \(T\) 有标号有根树的 EGF，则 \(T=ze^T\)，答案即为 \(n![z^n]T^k\)．
拉格朗日反演。
\(T\) 的复合逆 \(G=\frac{z}{e^z}\)，再令 \(H=z^k\)．
\[\begin{aligned}
n![x^n]T^k&=n![z^n]H(T)\\
&=(n-1)![z^{n-1}]H'(z)\left(\frac{z}{G}\right)^n
\\
&=k(n-1)![z^{n-1}]z^{k-1}e^{nz}
\\
&=k(n-1)![z^{n-k}]e^{nz}
\\
&=k(n-1)!n^{n-k}\frac{1}{(n-k)!}
\\
&=k\cdot n^{n-k-1}\cdot n^{\underline k}
\end{aligned}
\]
然后考虑原问题是 \(1,2,\cdots,k\) 两两不在同一棵树，那么这些点就可以看作它所在的树的根，并且按照这个根的相对大小顺序来作为树之间的相对顺序。然后考虑对这样一个方案如何推得刚刚求解的问题：给它重标号使得根并非是强制 \(1,2,\cdots ,k\)．首先 \(>k\) 的标号在分配标号后相对顺序不能改变，但是 \(1,2,\cdots,k\) 这些标号的相对顺序可以改变，所以需要乘一个 \(n^{\underline k}\) 来得到 \(k\) 棵有标号有根树个数。
反过来，连成 \(k\) 棵有标号有根数的方案数除掉 \(n^{\underline k}\) 即为原问题所求。
所以把 \(n\) 个点连成有 \(k\) 棵树的森林，并且要求 \(1,2,\cdots,k\) 这 \(k\) 个点两两不在同一棵树的方案数是 \(k\cdot n^{n-k-1}\)．
