拉格朗日反演推导扩展Cayley公式

萌新初学拉格朗日反演，这个看起来很对所以应该是对的吧？

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把 $n$ 个点连成有 $k$ 棵树的森林，并且要求 $1,2,\cdots,k$ 这 $k$ 个点两两不在同一棵树的方案数。

首先通过看错题求个连成 $k$ 棵有根树的个数，并且树和树之间有顺序。

令 $T$ 有标号有根树的 EGF，则 $T=ze^T$，答案即为 $n![z^n]T^k$．

拉格朗日反演。

$T$ 的复合逆 $G=\frac{z}{e^z}$，再令 $H=z^k$．

$$\begin{aligned} n![x^n]T^k&=n![z^n]H(T)\\ &=(n-1)![z^{n-1}]H'(z)\left(\frac{z}{G}\right)^n \\ &=k(n-1)![z^{n-1}]z^{k-1}e^{nz} \\ &=k(n-1)![z^{n-k}]e^{nz} \\ &=k(n-1)!n^{n-k}\frac{1}{(n-k)!} \\ &=k\cdot n^{n-k-1}\cdot n^{\underline k} \end{aligned}$$

然后考虑原问题是 $1,2,\cdots,k$ 两两不在同一棵树，那么这些点就可以看作它所在的树的根，并且按照这个根的相对大小顺序来作为树之间的相对顺序。然后考虑对这样一个方案如何推得刚刚求解的问题：给它重标号使得根并非是强制 $1,2,\cdots ,k$．首先 $>k$ 的标号在分配标号后相对顺序不能改变，但是 $1,2,\cdots,k$ 这些标号的相对顺序可以改变，所以需要乘一个 $n^{\underline k}$ 来得到 $k$ 棵有标号有根树个数。

反过来，连成 $k$ 棵有标号有根数的方案数除掉 $n^{\underline k}$ 即为原问题所求。

所以把 $n$ 个点连成有 $k$ 棵树的森林，并且要求 $1,2,\cdots,k$ 这 $k$ 个点两两不在同一棵树的方案数是 $k\cdot n^{n-k-1}$．