「题解」洛谷 P8580 [CoE R5] 罚球

为了简化记号，令 $a_i,b_i,c_i$ 为原题面中的 $\frac{a_i}{1000},\frac{b_i}{1000},\frac{1000-a_i-b_i}{1000}$．

$n$ 如此小，那就要大胆设 dp：

$f_{S,i,0/1}$ 表示当前状态为：存活集合是 $S$，由 $i$ 开始投球，上一个人是否投中，到最终终止时罚球数量的期望。根据定义，可以写出 dp 的式子（记 $nxt$ 为 $i$ 在 $S$ 中后一个罚球的人的编号）：

$$f_{S,i,0}=a_i\cdot f_{S\backslash\{i\},nxt,0}+b_if_{S,nxt,0}+c_if_{S,nxt,1}+1 \\ f_{S,i,1}=a_i\cdot f_{S\backslash\{i\},nxt,0}+b_if_{S\backslash \{i\},nxt,0}+c_if_{S,nxt,1}+1$$

因为转移出现了环，所以最暴力的想法是将所有 $f$ 放在一起高斯消元。

但是这个方程非常的特殊，所以考虑对高斯消元的复杂度进行优化。

首先是出现环的转移一定是同一个 $S$ 之内的，而对于一个 $S$ 计算其 $f$ 之前要计算出其子集的 $f$，于是按照集合 $S$ 大小从小到大对每个 $f_S$ 高斯消元。

现在方程中所有 $f_{S\backslash\{i\}}$ 的部分都变成已经计算出来了的常数了。再进一步观察转移式子，发现 $f_{S,i,1}$ 内部的转移是个环，那么单独计算出 $f_{S,i,1}$ 后，$f_{S,i,0}$ 式子里的 $f_{S,nxt,1}$ 就变成常数了，再单独计算 $f_{S,i,0}$．

此时再观察 $f_{S,i,1}$，发现每个方程仅有两个系数非零的元 $f_{S,i,1}$ 和 $f_{S,nxt,1}$，其系数矩阵是一个带状矩阵，那么用主元法就可以在 $\mathcal{O}(|S|)$ 的复杂度内求解出所有 $f_{S,i,1}$ 的值。

求出 $f_{S,i,1}$ 后，用同样的方法求解 $f_{S,i,0}$ 即可。

由于这里采用主元法来解方程的复杂度是关于状态个数线性的，所以总时间复杂度是 $\mathcal{O}(2^nn)$．

还有两个无解的情况要判，分别是出现了至少两个百发百中的人，以及所有人都进不了球且至少两个只碰篮板，这两种情况。

#include<cstdio>
#include<vector>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<ctime>
#include<random>
#include<assert.h>
#define pb emplace_back
#define mp make_pair
#define fi first
#define int long long
#define se second
#define dbg(x) cerr<<"In Line "<< __LINE__<<" the "<<#x<<" = "<<x<<'\n';
#define dpi(x,y) cerr<<"In Line "<<__LINE__<<" the "<<#x<<" = "<<x<<" ; "<<"the "<<#y<<" = "<<y<<'\n';
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double ld;
typedef pair<int,int>pii;
typedef pair<ll,int>pli;
typedef pair<ll,ll>pll;
typedef pair<int,ll>pil;
typedef vector<int>vi;
typedef vector<ll>vll;
typedef vector<pii>vpii;
typedef vector<pil>vpil;
template<typename T>T cmax(T &x, T y){return x=x>y?x:y;}
template<typename T>T cmin(T &x, T y){return x=x<y?x:y;}
template<typename T>
T &read(T &r){
	r=0;bool w=0;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9')w=ch=='-'?1:0,ch=getchar();
	while(ch>='0'&&ch<='9')r=r*10+(ch^48),ch=getchar();
	return r=w?-r:r;
}
template<typename T1,typename... T2>
void read(T1 &x,T2& ...y){read(x);read(y...);}
const int mod=1000033;
inline void cadd(int &x,int y){x=(x+y>=mod)?(x+y-mod):(x+y);}
inline void cdel(int &x,int y){x=(x-y<0)?(x-y+mod):(x-y);}
inline int add(int x,int y){return (x+y>=mod)?(x+y-mod):(x+y);}
inline int del(int x,int y){return (x-y<0)?(x-y+mod):(x-y);}
int qpow(int x,int y){
	int s=1;
	while(y){
		if(y&1)s=1ll*s*x%mod;
		x=1ll*x*x%mod;
		y>>=1;
	}
	return s;
}
mt19937 rnd(time(NULL)^(ull)(new char));
int bit(int x){
	return 1<<(x-1);
}
const int N=19;
int n,T;
int a[N],b[N],c[N],inv1000=qpow(1000,mod-2);
int nxt[N];
int f[(1<<18)+10][N][2];
vi vec[N];
int m,u[N],v[N],w[N],ans[N+1];
int iv[N];
void Gauss(){
	for(int i=1;i<=m;i++){
		iv[i]=qpow(v[i],mod-2);
	}
	int x=del(0,v[m]),y=w[m];
	for(int i=m-1;i>=2;i--){
		x=1ll*x*v[i]%mod;
		y=1ll*y*v[i]%mod;
		x=del(0,x);
		y=del(w[i],y);
	}
	ans[1]=1ll*del(w[1],1ll*v[1]*y%mod)*qpow(add(u[1],1ll*v[1]*x%mod),mod-2)%mod;
	ans[m+1]=ans[1];
	for(int i=m;i>=2;i--){
		ans[i]=del(w[i],1ll*ans[i+1]*v[i]%mod);
	}
}
void solve(int S){
	int lst=0,fir=0;
	vi p;
	for(int i=n;i>=1;i--){
		nxt[i]=0;
		if(bit(i)&S){
			p.pb(i);
			nxt[i]=lst;
			lst=i;
			if(!fir)fir=i;
		}
	}
	nxt[fir]=lst;
	reverse(p.begin(),p.end());
	m=p.size();
	for(int i=0;i<m;i++){
		int x=p[i];
		u[i+1]=1;
		v[i+1]=del(0,c[x]);
		w[i+1]=0;
		cadd(w[i+1],1ll*a[x]*f[S^bit(x)][nxt[x]][0]%mod);
		cadd(w[i+1],1ll*b[x]*f[S^bit(x)][nxt[x]][0]%mod);
		cadd(w[i+1],1);
	}
	Gauss();
	for(int i=0;i<m;i++)
		f[S][p[i]][1]=ans[i+1];
	//-----------------------------------
	for(int i=0;i<m;i++){
		int x=p[i];
		u[i+1]=1;
		v[i+1]=del(0,b[x]);
		w[i+1]=0;
		cadd(w[i+1],1ll*a[x]*f[S^bit(x)][nxt[x]][0]%mod);
		cadd(w[i+1],1ll*c[x]*f[S][nxt[x]][1]%mod);
		cadd(w[i+1],1);
	}
	Gauss();
	for(int i=0;i<m;i++)
		f[S][p[i]][0]=ans[i+1];
}
signed main(){
	#ifdef do_while_true
//		assert(freopen("data.in","r",stdin));
//		assert(freopen("data.out","w",stdout));
	#endif
	read(n,T);
	int ct1=0,ct2=0,ct3=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		read(a[i],b[i]);
		a[i]=1ll*a[i]*inv1000%mod;
		b[i]=1ll*b[i]*inv1000%mod;
		c[i]=del(1,add(a[i],b[i]));
		if(a[i]==b[i]&&a[i]==0)++ct1;
		if(a[i]==c[i]&&c[i]==0)++ct2;
		if(c[i]==0)++ct3;
	}
	if(ct1>=2||(ct2>=2&&ct3==n)){
		puts("-1");
		return 0;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		f[bit(i)][i][0]=f[bit(i)][i][1]=0;
	for(int i=0;i<(1<<n);i++)
		vec[__builtin_popcount(i)].pb(i);
	for(int i=2;i<=n;i++)
		for(auto S:vec[i])
			solve(S);
	cout << f[(1<<n)-1][1][0] << '\n';
    #ifdef do_while_true
		cerr<<'\n'<<"Time:"<<1.0*clock()/CLOCKS_PER_SEC*1000<<" ms"<<'\n';
	#endif
	return 0;
}