一次对计数问题将常用套路形式化剖析的尝试

例题：对于所有 $i,j\leq n$，求出 $f_{i,j}$ 表示有多少长度为 $i$ 的排列 $a$，前 $j$ 个位置要满足 $a_j\neq j$．

回顾一下错排数的递推式是如何求得的？单独拎出最后一个位置 $n$ 及其代表的数 $n$，先考虑长度 $(n-1)$ 的错排，讨论将位置 $n$ 以及数 $n$ 插入时不同方式的方案数之和。

尝试对这个方法进行抽象化：

对一个满足一些条件的组合对象进行计数时，想要通过规模更小的问题的答案来获得当前问题答案，考虑去除组合对象中的若干元素，然后考虑将这些元素在规模更小的组合对象中插入后，方案数之和是多少。

能否沿用这个思路解决例题？

方法一：考虑将一个限制不能冲突的位置及其代表的数加入，首先考虑这个数放入了前面哪个位置。

第一种情况是放入一个有限制的位置，有 $(j-1)$ 种放法。放入之后剩下一个单独的随便放的数，和一个单独的随便放的位置。把这两个看作同一个编号，那么就化为了 $(i-1)$ 个数及位置，有 $(j-2)$ 个限制的情况。

第二种情况是放入一个无限制的位置，有 $(i-j)$ 种放法。放入之后同理可以将单独的数和单独的位置看作同一个编号，就化为了 $(i-1)$ 个数及位置，有 $(j-1)$ 个限制的情况。

所以递推式为 $f_{i,j}=(j-1)f_{i-1,j-2}+(i-j)f_{i-1,j-1}$．

方法二：考虑将一个无限制的位置及数放入。

第一种情况是放入一个有限制的位置，可推得这种情况的方案数 $jf_{i-1,j-1}$；

第二种情况是放入一个无限制的位置，这种情况的方案数 $(i-j-1)f_{i-1,j}$．

递推式为 $f_{i,j}=jf_{i-1,j-1}+(i-j-1)f_{i-1,j}$．

值得注意的是 $i=j$ 时不存在无限制的数，所以需要初始化的是 $f_{i,i}$．

方法三：考虑将一个有限制的位置及数放入，假装没有限制先任意选 $f_{i,j-1}$，再容斥掉不合法的情况（强制那个有限制的冲突） $-f_{i-1,j-1}$．

递推式为 $f_{i,j}=f_{i,j-1}-f_{i-1,j-1}$．

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虽然是经典思路，但是需要总结，而总结就需要一些比较抽象的描述，但是抽象的描述又离不开题目否则难以理解。

一次尝试，暂且一记，是否有时间有意愿去整理另论。