「题解」AGC038C LCMs

\(i\) 和 \(j\) 不对称很烦，求 \(\sum_i\sum_j\mathrm{lcm}(A_i,A_j)\) 再减去 \(\sum_i A_i\) 再除 \(2\) 即可得到答案。现在来考虑 \(i\) 和 \(j\) 取值均为 \(0\sim N-1\) 的式子：

\[\begin{aligned} &\sum_i\sum_j\mathrm{lcm}(A_i,A_j) \\ =&\sum_i\sum_j\frac{A_iA_j}{\gcd(A_i,A_j)} \\ =&\sum_d\frac{1}{d}\sum_i\sum_j A_iA_j[\gcd(A_i,A_j)=d] \end{aligned} \]

\([\gcd(A_i,A_j)=d]\) 我们束手无策，但 \([\gcd(i,j)=d]\) 我们熟能生巧

于是考虑定义域与值域互换的技巧，也就是令 \(B_i\) 为 \(i\) 在 \(A\) 中的出现次数，则有：

\[\begin{aligned} &\sum_{d}\frac{1}{d}\sum_{d|i}\sum_{d|j}B_iB_jij[\gcd(i,j)=d] \\=&\sum_{d}\frac{1}{d}\sum_{i,j}B_{id}B_{jd}ijd^2\sum_{e|i,e|j}\mu(e) \\=&\sum_{d}d\sum_e\mu(e)\left(\sum_{e|i}B_{id}i\right)^2 \\=&\sum_{d}d\sum_e\mu(e)\left(\sum_{de|i}B_{i}\frac{i}{d}\right)^2 \\=&\sum_{d}\frac{1}{d}\sum_e\mu(e)\left(\sum_{de|i}B_{i}i\right)^2 \end{aligned} \]

然后发现最后面那个括号里面的可以预处理，称其为 \(f\)，令 \(s=de\)，枚举 \(s\) 再枚举 \(d\) 得到：

\[\begin{aligned} \sum_s f(s)\sum_{d|s}\frac{1}{d}\mu(\frac{s}{d}) \end{aligned} \]

发现后面依然是两个数论函数的狄利克雷卷积，设其为 \(g\)，也可以预处理出。

令 \(m=\max(A)\)，\(f,g\) 的预处理暴力实现均为 \(\mathcal{O}(m\log m)\)．

不难发现 \(f\) 实际上是 \(B_ii\) 作狄利克雷后缀和，\(g\) 则是 \(\frac{1}{i}\) 和 \(\mu\) 作卷积，相当于对 \(\frac{1}{i}\) 作狄利克雷前缀差分。

于是均可以做到 \(\mathcal{O}(m\log \log m)\) 的复杂度。

在写这篇博客时暂且跑到了洛谷最优解。

#include<cstdio>
#include<vector>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<ctime>
#include<random>
#include<assert.h>
#define pb emplace_back
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define dbg(x) cerr<<"In Line "<< __LINE__<<" the "<<#x<<" = "<<x<<'\n';
#define dpi(x,y) cerr<<"In Line "<<__LINE__<<" the "<<#x<<" = "<<x<<" ; "<<"the "<<#y<<" = "<<y<<'\n';
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int>pii;
typedef pair<ll,int>pli;
typedef pair<ll,ll>pll;
typedef pair<int,ll>pil;
typedef vector<int>vi;
typedef vector<ll>vll;
typedef vector<pii>vpii;
typedef vector<pil>vpil;
template<typename T>T cmax(T &x, T y){return x=x>y?x:y;}
template<typename T>T cmin(T &x, T y){return x=x<y?x:y;}
#define getchar()(p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
inline void read(int& r){
	r=0;bool w=0;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9')w=ch=='-'?1:0,ch=getchar();
	while(ch>='0'&&ch<='9')r=r*10+(ch^48),ch=getchar();
	r=w?-r:r;
}
const int N=1000010;
const int mod=998244353;
int gcd(int a,int b){
	return !b?a:gcd(b,a%b);
}
inline void cadd(int &x,int y){
	x=(x+y>=mod)?(x+y-mod):(x+y);
}
inline void cdel(int &x,int y){
	x=(x-y<0)?(x-y+mod):(x-y);
}
int qpow(int x,int y){
	int s=1;
	while(y){
		if(y&1)s=1ll*s*x%mod;
		x=1ll*x*x%mod;
		y>>=1;
	}
	return s;
}
int n,mx,fac[N];
int vis[N],mu[N];
int f[N],g[N];
int ans;
vi pr;
void init(){
	fac[0]=1;
	for(int i=1;i<=mx;i++)fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
	g[mx]=qpow(fac[mx],mod-2);
	for(int i=mx-1;~i;--i)g[i]=1ll*g[i+1]*(i+1)%mod;
	for(int i=1;i<=mx;i++)g[i]=1ll*g[i]*fac[i-1]%mod;
	mu[1]=1;
	for(int i=2;i<=mx;i++){
		if(!vis[i]){
			pr.pb(i);
			mu[i]=-1;
		}
		for(auto j:pr){
			if(i*j>mx)break;
			vis[i*j]=1;
			if(i%j==0)break;
			mu[i*j]=-mu[i];
		}
	}
	for(int i=1;i<=mx;i++)
		if(mu[i]==-1)
			mu[i]=mod-1;
}
signed main(){
	#ifdef do_while_true
//		assert(freopen("data.in","r",stdin));
	#endif
	read(n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int x;read(x);++f[x];cmax(mx,x);cdel(ans,x);
	}
	init();
	for(int i=1;i<=mx;i++)f[i]=1ll*f[i]*i%mod;
	for(auto x:pr)
		for(int i=mx/x;i;i--)
			cadd(f[i],f[i*x]),
			cdel(g[i*x],g[i]);
	for(int i=1;i<=mx;i++)f[i]=1ll*f[i]*f[i]%mod;
	for(int i=1;i<=mx;i++)
		cadd(ans,1ll*f[i]*g[i]%mod);
	cout << 1ll*ans*499122177%mod << '\n';
    #ifdef do_while_true
		cerr<<'\n'<<"Time:"<<clock()/CLOCKS_PER_SEC<<" ms"<<'\n';
	#endif
	return 0;
}