树上背包复杂度证明

树上背包上下界优化。

考虑 $v$ 是 $u$ 的儿子，现在 $f_{u}$ 已经合并了若干个 $v$ 前面的子树，（不包含 $v$ 及以后的子树）其大小为 $s_x$ ， $v$ 子树的大小为 $s_v$ ．

考虑转移 $g_{u,i+j}\gets f_{u,i}+f_{v,j}$ ，然后 $f_{u,i}\gets g_{i}$ ．

考虑 $g$ 第二维的范围是 $[0,s_u+s_v]$ ， $f_u$ 第二维的范围是 $[0,s_u]$ ， $f_v$ 第二维的范围是 $[0,s_{v}]$ ．

枚举 $i,j$ 使得一定满足这些范围即可。

考虑这次合并的时间复杂度 $\mathcal{O}(s_us_v)$ ，那么在 $u$ 此处合并子树的时间复杂度就是不断将 $s_v$ 加入 $s_u$ 产生 $s_us_v$ 的代价，那么把 $u$ 所有子树都合并起来的时间复杂度就是其所有子树大小（再加上它本身的一个 $1$ ）两两乘积的和。

这个总和怎么计算？考虑每一个点对都会在 LCA 处贡献一个 $1$ ，所以时间复杂度是 $\mathcal{O}(n^2)$ ．

如果对背包的第二维进行一个 $\leq k$ 的限制，复杂度是什么呢？

考虑称子树大小 $\leq k$ 的为小子树， $>k$ 的为大子树。

考虑小子树之间合并为极大的小子树（定义为再往父亲走一步就变为大子树）的复杂度，根据定义所有极大的小子树是不会互相包含的：

首先，合并得到一个大小为 $x$ 的极大的小子树的复杂度是 $\mathcal{O}(x^2)$ ，因为此时第二维没有了限制，相当于上一个问题。

假设极大的小子树的大小是 $x_1,x_2,\cdots$ ，其和 $\leq n$ ，它们的平方和最大就是每个 $x$ 尽可能地取 $k$ 也就是 $k^2\times \frac{n}{k}=\mathcal{O}(nk)$ ．

然后考虑极大的小子树合并为极小的大子树（定义为极大的小子树的父亲）。

假设极大的小子树的大小是 $x_1,x_2,\cdots$ ，其和 $\leq n$ ，那么将它们合并到父亲的代价 $\leq k\sum x_i\leq nk$ ．

最后是极小的大子树之间的合并，前面已经算完了极大的小子树之间都合并完的代价，现在只剩下了若干极小的大子树，并且它们互相不包含。所以它们个数最多 $\frac{n}{k}$ 个，而每次合并的代价为 $k^2$ ，总代价就是 $\mathcal{O}(nk)$ ．

综上所述，该树上背包的复杂度为 $\mathcal{O}(nk)$ ．

2023.8.3 upd 一个更简洁的证明

多个子树可以三度化掉（当然这只是把树上背包合并的过程显式体现而已）在 dfs 序上考虑，合并子树看作合并这 dfs 序上相邻的两个区间，看作前面选择一个长度为 $x$ 的后缀，后面选择一个长度为 $y$ 的前缀，满足 $x+y\leq k$ ，它们拼成一个区间，方案数是多少。一个区间最多只会被拼出一次（也就是仅会在与它有交的子树都合并在一起的那一次被统计到），所以直接大力放缩成 dfs 序中所有长度 $\leq k$ 的区间，即得 $\mathcal{O}(nk)$ 的上界。