Tutte 矩阵 求解一般图最大匹配

证明之类的还是直接看 2017 年 IOI 国家集训队论文 《基于线性代数的一般图匹配》（杨家齐）。

一般图完美匹配

定义（Tutte 矩阵）：对于一个无向图 $G=(V,E)$，定义 $G$ 的 Tutte 矩阵为一个 $n\times n$ 的矩阵 $\tilde{A}(G)$，其中

$$\tilde{A} (G)=\left\{\begin{matrix} x_{i,j} & v_iv_j\in E 且 i<j \\ -x_{j,i} & v_iv_j\in E 且 i>j \\ 0 & otherwise \end{matrix}\right.$$

其中 $x_{i,j}$ 是两两不同，仅与边 $v_iv_j$ 有关的变量。

定理一：图 $G$ 有完美匹配当且仅当 $\det\tilde{A}(G)\neq 0$．

这个姑且还是学了一下怎么证。

一个图的环覆盖是说，用若干个环去覆盖 $G$ 的所有节点，使得 $G$ 的每个节点都恰好在一个环中。如果环长均为偶数，那么称其为一个偶环覆盖。

图 $G$ 的每一个环覆盖都能和一个长度为 $|V|$ 的置换所对应，具体地，对于一个排列 $\pi$，其对应的环覆盖为选出所有 $v_iv_{\pi(i)}$ 的边。

引理一：图 $G=(V,E)$ 有完美匹配当且仅当 $G$ 存在偶环覆盖。

若 $G$ 存在完美匹配，将所有匹配边看作一个二元环，即为一个偶环覆盖。

若 $G$ 存在一个偶环覆盖，那么在每个偶环上间隔一条边取一条边，即可得到一个完美匹配。

故引理成立。

想要证得定理一，我们要说明 $\det\tilde{A}(G)\neq 0$ 当且仅当 $G$ 存在偶环覆盖。

根据行列式的定义有：

$$\det\tilde{A}(G)=\sum_{\pi}(-1)^{\mathrm{sgn}(\pi)}\prod \tilde{A}(G)_{k,\pi(k)}$$

考虑任意一个环覆盖对应的置换，将其中一个环反向，由于环的个数也就是置换的奇偶性没有改变，也就是其逆序对个数，$\mathrm{sgn}(\pi)$ 没有改变。

考虑这个环对乘积的贡献，根据 $\tilde{A}(G)$ 的定义可知，将一个环反向后，环上每一条边都贡献了一个 $-1$，所以对一个奇环反向，其对应置换的权值会 $\times (-1)$，否则并不会变。

这告诉我们，对于每一个存在奇环的环覆盖，将其其中一个奇环反向，这两个环覆盖的权值恰好相反，则所有存在奇环的环覆盖都会互相抵消掉，不会对 $\det\tilde{A}(G)$ 产生贡献。

由于 $\tilde{A}(G)$ 中 $x_{i,j}$ 互不相同，所以若存在一个偶环覆盖，它一定不会被其他的偶环覆盖所消掉，则 $\det\tilde{A}(G)\neq 0$．

综上所述 $\det\tilde{A}(G)\neq 0$ 当且仅当 $G$ 存在一个偶环覆盖，即 $G$ 存在完美匹配。

现在问题变成了算 $\det\tilde{A}(G)$，如果暴力做多项式操作复杂度将变得很大，由于最终不需要知道其取值为多少，仅需要判断最终多项式取值是否为 $0$．

引理二 (Schwartz, Zippel)：对于域 $\mathbb{F}$ 上的一个不恒为 $0$ 的 $n$ 元 $d$ 度多项式 $P(x_1, x_2,\cdots, x_n)$，
设 $r_1,r_2,\cdots,r_n$ 为 $n$ 个 $\mathbb{F}$ 中的独立选取的随机数，则：

$$Pr[P(r_1,r_2,\cdots,r_n) = 0]\leq \frac{d}{|\mathbb{F}|}$$

证明还是看原论文。

人话：检查一个 $n$ 次多项式是否恒为 $0$，选取模 $p$ 意义下的若干随机数代入到各个元中，通过最终结果判断多项式是否恒为 $0$，概率是 $\frac{n}{p}$．

所以选取较大的 $p$，或者多次随机，即可完成 $\det\tilde{A}(G)\neq 0$ 的判断。

完美匹配方案构造

太难了，先咕着。

一般最大匹配

定理：图 $G$ 的最大匹配的大小 $ν(G)$ 是 $\frac{1}{2}\mathrm{rank}\tilde{A}(G)$．

求这个矩阵的秩也可以用在模 $p$ 意义下给每个元随机权值的方式。

证明咕着。

贴个代码：

const int N=1010;
const ll mod=998244353;
inline void cdel(ll &x,ll y){x=(x-y<0)?(x-y+mod):(x-y);}
inline ll del(ll x,ll y){return (x-y<0)?(x-y+mod):(x-y);}
ll qpow(ll x,ll y){
	ll s=1;
	while(y){
		if(y&1)s=s*x%mod;
		x=x*x%mod;
		y>>=1;
	}
	return s;
}
int n,m;
ll v[N][N];
ll w[N*N];
pii e[N*N];
mt19937 rnd(0);
map<int,int>vis;
int Solve(){
	int c=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int p=0;
		for(int j=c+1;j<=n;j++)
			if(v[j][i]){
				p=j;
				break;
			}
		if(!p)continue;
		++c;
		swap(v[c],v[p]);
		ll rev=qpow(v[c][i],mod-2);
		for(int j=c+1;j<=n;j++){
			ll tmp=v[j][i]*rev%mod;
			for(int k=1;k<=n;k++)
				cdel(v[j][k],tmp*v[c][k]%mod);
		}
	}
	return c;
}
int main(){
	read(n,m);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int u,v;read(u,v);
		if(u>v)swap(u,v);
		e[i]=mp(u,v);
	}
	int ans=0;
	for(int o=1;o<=5;o++){
		for(int i=1;i<=m;i++)w[i]=rnd()%998244352+1;
		for(int i=1;i<=n;i++)
			for(int j=1;j<=n;j++)
				v[i][j]=0;
		for(int i=1;i<=m;i++){
			v[e[i].fi][e[i].se]=w[i];
			v[e[i].se][e[i].fi]=0;
			cdel(v[e[i].se][e[i].fi],w[i]);
		}
		int now=Solve()/2;
		++vis[now];
		if(vis[now]>vis[ans])
			ans=now;
	}
	cout << ans << '\n';
	return 0;
}

最大匹配方案构造

咕