wqs 二分

wqs 二分

强制必须选恰好 $i$ 个物品的价值是 $ans_i$，要求出恰好选 $m$ 的答案也就是 $ans_m$．

如果 $ans$ 是凸的（差分单调，这里仅讨论上凸即差分不增），那么可以二分一个直线的斜率，让这条直线尝试切这个凸包，如果切点横坐标在 $m$ 左侧，就减小斜率，否则增大斜率。最终切点的纵坐标即为答案。

二分一个斜率之后，怎么找到切点？大家都知道一条固定斜率的直线切这个凸包，第一个切到的点满足其截距最大。

也就是现在有直线 $y=kx+b$ 的 $k$，找到一个 $(i,ans_i)$ 使得 $b$ 最大。

移项一下得到 $ans_i-ki=b$，考虑这个的实际含义，选出 $i$ 个物品的同时，要减去物品个数 $\times k$ 的代价。

那么给每个物品一个 $-k$ 的价值偏移，当成没有物品个数的限制来找到最优的答案即可。

wqs 二分的优越处在于，对于原问题，我们需要考虑选了多少个物品，而二分斜率并给每个物品一个多余的代价之后，问题变得不需要再考虑选了多少个物品。

几、细节

大部分题目答案 $ans_i$ 都是一个整数，所以凸包上的边的斜率，也就是相邻点的答案的差值 $ans_i-ans_{i-1}$ 也会是一个整数，这种情况只需要二分整数，否则还需要二分实数。

多点共线情况处理起来更麻烦一些，假如说凸包是个这个形态，我们要求出的是 $B$ 点的纵坐标：

斜率二分到 $k_2$ 的时候，无论尽量少选的还是尽量多选都不会找到这个 $B$ 点，但是可以通过截距 $+km$ 来求出 $B$ 的纵坐标（注意这里并不是截距 $+k\times$ “check 中选出的物品个数”）。

那么假如钦定每次少选：

当切点在 $B$ 右侧时，此时切点可能是 $C$ 及以后的点，斜率一定是错的，不标记答案，令 $r\gets mid-1$；

当切点在 $B$ 左侧时，此时切点可能是 $A$ 及以前的点，斜率可能是正确的，标记答案，令 $l\gets mid$．

为了能二分到正确的斜率，不会死循环，每次令 $mid\gets \left \lceil \frac{l+r}{2} \right \rceil$，判断继续二分的条件是 $l<r$．

假如钦定每次尽可能多地选也同理：

当切点在 $B$ 右侧时，此时切点可能是 $C$ 及以后的点，斜率可能是正确的，标记答案，令 $r\gets mid$；

当切点在 $B$ 左侧时，此时切点可能是 $A$ 及以前的点，斜率一定是错的，不标记答案，令 $l\gets mid+1$．

为了能二分到正确的斜率，不会死循环，每次令 $mid\gets \left \lfloor \frac{l+r}{2} \right \rfloor$，判断继续二分的条件是 $l<r$．

P2619

板子

CF739E

做法一：对 A 类球 wqs 二分，B 类球暴力 dp 记录其选了多少个。$\mathcal{O}(n^2\log n)$．

（假）做法二：wqs 二分 套 wqs 二分，$\mathcal{O}(n\log^2n)$．震惊了，这个是假做法吗

做法三：对 A 类球二分，然后内部贪心邻项交换法，这么神奇的吗？