「题解」Codeforces 1698F Equal Reversal

为什么有些并不显然的东西在题解里是显然的啊，第一种方案构造方式是参考 UOJ 群里八云蓝教的。

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\(a\) 能变换成 \(b\) 的充要条件是：

• \(a_1=b_1,a_n=b_n\)；

• \(\{\{a_i,a_{i+1}\}|1\leq i<n,i\in N\}=\{\{b_i,b_{i+1}\}|1\leq i<n,i\in N\}\)，也就是相邻元素的无序数对构成的集合相同。

必要：每次操作不会改变 \(a_1,a_n\)，也不会改变相邻元素的无序数对的集合。

充分：考虑直接构造出这个方案。

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第一种构造：

若现在已经满足 \(a_{[1,i]}\) 与 \(b_{[1,i]}\) 相同，设 \(a_i=b_i=x,a_{i+1}=b\)，\(b_{i+1}=c\)．

那么 \(a_{[i+1,n]}\) 中必然也会出现 \(x,c\) 相邻（满足条件二）。

如果 \(a_{[i,n]}\) 是 \([x,b,\cdots,c,x,\cdots]\)，那么选择两个 \(x\) 作为端点旋转即可将 \(i+1\) 这个位置匹配成功；

如果 \(a_{[i,n]}\) 是 \([x,b,\cdots x,c,\cdots]\)，现在想办法把 \(x,c\) 转过来：

考虑 \(a\) 中 \([x,b,\cdots,x,c]\) 与其对应（区间端点下标相同）在 \(b\) 中的 \([x,c,\cdots]\)，若这两个区间不满足相邻元素的无序对构成的集合相同（称作平衡），考虑使得两段不平衡的一个数 \(y\)，形式化地，若将 \(a\) 此段中相邻元素组成的无序数对构成的集合称作 \(A\)，\(b\) 构成的称作 \(B\)，则一定存在一个 \(y\) 满足 \(\{\{y,z\}|\{y,z\}\in A\}\neq \{\{y,z\}|\{y,z\}\in B\}\)，由于 \(a\) 和 \(b\) 的前 \(i\) 个已经相同，那么在 \(A\) 中没出现的 \(\{y,z\}\) 一定在选出的这一段的后面，所以 \(a_{[i,n]}\) 一定形如 \([x,b,\cdots,y,\cdots,x,c,\cdots,y,\cdots]\)，选择两个 \(y\) 作为端点旋转即可将 \(i+1\) 这个位置匹配成功。注意到若 \(y=c\)，那么在边界上可能会出现点问题，不过由于 \(|A|=|B|\)，说明至少有两个这样的 \(y\)，选择一个不为 \(c\) 的即可。

如果平衡，考虑 \(c\) 在无序对集合中出现的奇偶性，那么 \(b\) 中这一段的末尾一定是 \(c\)，这表明 \(a\) 中出现了至少两次 \(c\)，所以在这一段中 \(a\) 是 \([x,b,\cdots,c,\cdots,x,c]\) 的形式，那么选择这两个 \(c\) 作为端点旋转即可。

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第二种构造：

考虑建立一个图论模型，建立一个图 \(G\)，对所有值建一个点，对于所有的 \(1\leq i<n\)，将 \((a_i,a_{i+1})\) 连一条无向边。那么 \(a\) 给定了这张图的一条欧拉路径，而操作相当于翻转在 \(G\) 中遍历一个环的顺序。而结论是，通过若干次这样的操作，一定能得到其它任意的起点终点相同的欧拉路径。

首先操作是可逆的，所以考虑将任意两条不一样的路径变为一样的路径。

如果这两条路径从 \(x\) 点开始出发的边不同，一条路径 \(A\) 走了 \((x,y)\) ，另一条路径 \(B\) 走了 \((x,z)\)。根据欧拉路径的性质，在走这一步不一样的边之前，\(x\) 还剩下偶数条边没有经过，假设这个数目是 \(2k\)，那么一条合法的欧拉路径会将剩下这 \(2k\) 条边定向为 \(k\) 条出边和 \(k\) 条入边。如果在 \(A\) 中 \((x,z)\) 是入边，那么 \(A\) 翻转 \(x\to y\to \cdots \to z\to x\) 这个环即可使得 \(A\) 和 \(B\) 在这一步上走相同的边；如果 \(B\) 中 \((x,y)\) 是入边也同理。

那么现在还没考虑的情况就是 \(2k\) 条边中，\(A\) 和 \(B\) 都将 \((x,y),(x,z)\) 定为了出边，还需要在剩下的 \((2k-2)\) 条边中定 \(k\) 条入边和 \((k-2)\) 条出边，如果 \(A\) 和 \(B\) 有相同的入边 \((c,x)\)，那么 \(A\) 翻转 \(x\to y\to \cdots \to c\to x\)，\(B\) 翻转 \(x\to z\to \cdots \to c\to x\) 即可使得 \(A\) 和 \(B\) 在这一步上走相同的边。而根据鸽巢原理，\((2k-2)\) 条边中 \(A\) 选 \(k\) 条，\(B\) 也选 \(k\) 条，必定会有重复选的。所以一定能找到这样的 \(c\)．

基于此，我们可以在每一步进行适当的翻转 \(A\) 或 \(B\) 中一个环的遍历顺序，使得 \(A\) 和 \(B\) 成为相同的欧拉路径。由于操作可逆，所以得到原结论，通过这样的若干次这样的操作，一定能得到其它任意的起点终点相同的欧拉路径。

#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<ctime>
#include<random>
#define pb emplace_back
#define mp std::make_pair
#define fi first
#define se second
#define dbg(x) cerr<<"In Line "<< __LINE__<<" the "<<#x<<" = "<<x<<'\n';
#define dpi(x,y) cerr<<"In Line "<<__LINE__<<" the "<<#x<<" = "<<x<<" ; "<<"the "<<#y<<" = "<<y<<'\n';
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int>pii;
typedef pair<ll,int>pli;
typedef pair<ll,ll>pll;
typedef vector<int>vi;
typedef vector<ll>vll;
typedef vector<pii>vpii;
template<typename T>T cmax(T &x, T y){return x=x>y?x:y;}
template<typename T>T cmin(T &x, T y){return x=x<y?x:y;}
template<typename T>
T &read(T &r){
	r=0;bool w=0;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9')w=ch=='-'?1:0,ch=getchar();
	while(ch>='0'&&ch<='9')r=r*10+(ch^48),ch=getchar();
	return r=w?-r:r;
}
template<typename T1,typename... T2>
void read(T1 &x, T2& ...y){ read(x); read(y...); }
const int N=510;
int n,a[N],b[N];
vpii ans;
void Rev(int l,int r){
	ans.pb(mp(l,r));
	reverse(a+l,a+r+1);
}
bool Solve(int i){
	for(int j=i;j<n;j++)
		if(a[j]==b[i]&&a[j+1]==b[i-1]){
			Rev(i-1,j+1);
			return 1;
		}
	for(int p=i;p<n;p++)
		if(a[p]==b[i-1]&&a[p+1]==b[i]){
			bool fl=0;
			for(int j=i-1;j<=p&&!fl;j++)
				for(int k=p+1;k<=n;k++)
					if(a[j]==a[k]){
						Rev(j,k);
						fl=1;
						break;
					}
			if(!fl){
				return 0;
			}
			for(int j=i;j<n;j++)
				if(a[j]==b[i]&&a[j+1]==b[i-1]){
					Rev(i-1,j+1);
					return 1;
				}
		}
	return 0;
}
void solve(){
	read(n);ans.clear();
	for(int i=1;i<=n;i++)read(a[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++)read(b[i]);
	if(a[1]!=b[1]||a[n]!=b[n]){
		puts("NO");
		return ;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(a[i]==b[i])continue;
		if(!Solve(i)){
			puts("NO");
			return ;
		}
	}
	puts("YES");
	cout << ans.size() << '\n';
	for(auto x:ans)cout << x.fi << ' ' << x.se << '\n';
}
signed main(){
	int T;read(T);while(T--)solve();
    #ifdef do_while_true
		cerr<<'\n'<<"Time:"<<clock()<<" ms"<<'\n';
	#endif
	return 0;
}