杜教筛

又在抄 oi-wiki...

求

$$\phi(n)=\sum_i^n \varphi(i)$$

利用 $id=\varphi * 1$：

$$\begin{aligned} \frac{1}{2}n(n+1)&=\sum_k^n k \\ &=\sum_k^n\sum_{d|k}\varphi(\frac{k}{d}) \\ &=\sum_d^n\sum_{1\leq k\leq n,d|k}\varphi(\frac{k}{d}) \\ &=\sum_d^n\sum_k^{\left\lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor}\varphi(k) \\ &=\sum_d^n\phi(\left\lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor) \end{aligned}$$

注意到当 $d=1$ 的时候就是我们想要的 $\phi(n)$

即：$\phi(n)=\frac{1}{2}n(n+1)-\sum_{d\geq 2}\phi(\left\lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor)$

记忆化搜索即可，可证算法复杂度为 $\mathcal{O}(n^{2/3})$.

一般化

欲求 $f$ 的前缀和 $F$，构造出 $F(n)$ 关于 $F(\left\lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor)$ 的递推式。

$$\begin{aligned} \sum_i \sum_{d|i}g(d)f(\frac{i}{d})=\sum_{i}g(i)F(\left\lfloor\frac{n}{i}\right\rfloor) \\ \Longleftrightarrow \sum_i(f\ast g)(i)=g(1)F(n)+\sum_{i>1}g(i)F(\left\lfloor\frac{n}{i}\right\rfloor) \end{aligned}$$

若能快速求得 $f\ast g$ 的前缀和以及 $g$，则可以整除分块来求 $F(n)$.

试试看！

求 $\sum_{i=1}^n\mu(i)$ 的值，其中 $n\leq 2^{31}-1$.

利用 $\mu \ast 1=\epsilon$ 即可。