「题解」Codeforces 311E Biologist
我写的第一道最小割¿¿¿
二选一，考虑一个鱼刺型建图（自己编的名字），然后用最小割求最小花费。
鱼刺性建图大概就是，中间有一排点，然后位于左侧的 \(S\) 连向这一排点，这一排点连向右侧的 \(T\)，看起来就很像鱼刺(?)
trick：最大价值=总价值-最小花费
如果这个位置是 \(0\)，那么源点 \(S\) 连到它一条流量为 \(v\) 的边，若存在则代表选 \(0\)，若割掉则代表花费了 \(v\) 的代价选为 \(1\)；如果这个位置是 \(1\)，那么它连到汇点 \(T\) 一条流量为 \(v\) 的边，若存在则代表选 \(1\)，若割掉则代表花费了 \(v\) 的代价选为 \(0\)．
首先这个 \(g\) 是没有用的，就如果当二五仔要赔钱的话，把 \(W\) 加上 \(g\)，然后最后总答案再减去 \(g\) 即可。
现在这个限制是：如果这些位置你都选 \(0/1\)，就可以喜提 \(W\) 的价值。对应到最小割上：先假定满足条件，获得 \(W\) 的价值；如果这些位置的 \(1/0\) 点与 \(T/S\) 边有一条没被割掉，那么就需要付出 \(W\) 的代价。
那么建一个新点 \(x\)，如果它限制的位置都选 \(0\)，就连 \((x,\text{限制的位置},+\infty)\)，\((S,x,W)\)，也就是 \(x\) 在二分图中和 \(0\) 点位于一部分。如果它限制的位置都选 \(1\) 也同理，只不过它在二分图中和 \(1\) 点位于一部分。
感性理解一下为什么这样子的最小割是最小花费：假设它限制若干位置都选 \(0\)，如果某些位置本来填的是 \(1\)，那么如果那个位置连向 \(T\) 的边没有被割掉，不符合限制，\((S,x,W)\) 一定要被割掉，符合题意；如果某些位置本来填的是 \(0\)，如果这个位置 \(p\) 对应的边被割掉了，在最小割中，那么从它开始一定至少可以到达一个没有被割掉的限制 \(y\)，这样流可以从 \(S\to x\to p\to y\to T\) 流过，在这一路中，只有 \(S\to x\) 的边是可以割的（若割掉所有的 \(y\to T\)，那么 \(S\to p\) 一定不会割掉，因为割掉的话就不优了），所以 \((S,x,W)\) 一定要割掉，符合题意。
至于可能出现 \(0\) 流量的边，其实是无关紧要的(?)
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<queue>
#define pb emplace_back
#define mp std::make_pair
#define fi first
#define se second
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef unsigned long long ull;
typedef std::pair<int, int> pii;
typedef std::vector<int> vi;
const ll mod = 998244353;
ll Add(ll x, ll y) { return (x+y>=mod) ? (x+y-mod) : (x+y); }
ll Mul(ll x, ll y) { return x * y % mod; }
ll Mod(ll x) { return x < 0 ? (x + mod) : (x >= mod ? (x-mod) : x); }
ll cadd(ll &x, ll y) { return x = (x+y>=mod) ? (x+y-mod) : (x+y); }
ll cmul(ll &x, ll y) { return x = x * y % mod; }
template <typename T> T Max(T x, T y) { return x > y ? x : y; }
template<typename T, typename... T2> T Max(T x, T2 ...y) { return Max(x, y...); }
template <typename T> T Min(T x, T y) { return x < y ? x : y; }
template<typename T, typename... T2> T Min(T x, T2 ...y) { return Min(x, y...); }
template <typename T> T cmax(T &x, T y) { return x = x > y ? x : y; }
template <typename T> T cmin(T &x, T y) { return x = x < y ? x : y; }
template <typename T>
T &read(T &r) {
r = 0; bool w = 0; char ch = getchar();
while(ch < '0' || ch > '9') w = ch == '-' ? 1 : 0, ch = getchar();
while(ch >= '0' && ch <= '9') r = r * 10 + (ch ^ 48), ch = getchar();
return r = w ? -r : r;
}
template<typename T1, typename... T2>
void read(T1 &x, T2& ...y) { read(x); read(y...); }
const int N = 100010;
const int M = 500010;
const ll INF = 0x7fffffffffffffff;
int n, m, g;
int a[N], v[N];
int tot, S, T, ent = 1, head[N], cur[N], dis[N];
struct Edge {
int to, nxt;
ll fl;
}e[M << 1];
inline void add(int x, int y, ll z) {
//printf("%d %d %d\n", x, y, z);
e[++ent].to = y; e[ent].fl = z; e[ent].nxt = head[x]; head[x] = ent;
e[++ent].to = x; e[ent].fl = 0; e[ent].nxt = head[y]; head[y] = ent;
}
bool bfs() {
for(int i = 1; i <= tot; ++i) dis[i] = -1, cur[i] = head[i];
std::queue<int>q;
q.push(S); dis[S] = 0;
while(!q.empty()) {
int x = q.front(); q.pop();
for(int i = head[x]; i; i = e[i].nxt) {
int v = e[i].to;
if(dis[v] == -1 && e[i].fl) {
dis[v] = dis[x] + 1;
q.push(v);
}
}
}
return dis[T] != -1;
}
ll dfs(int x, ll lim) {
if(x == T) return lim;
ll flow = 0;
for(int i = cur[x]; i && flow < lim; i = e[i].nxt) {
int v = e[i].to; cur[x] = i;
if(dis[v] == dis[x] + 1 && e[i].fl) {
ll f = dfs(v, Min(e[i].fl, lim - flow));
flow += f; e[i].fl -= f; e[i^1].fl += f;
}
}
return flow;
}
ll dinic() {
ll mxfl = 0;
while(bfs())
mxfl += dfs(S, INF);
return mxfl;
}
signed main() { //freopen("data.in", "r", stdin);
ll sum = 0;
read(n, m, g); tot = n; S = ++tot; T = ++tot;
for(int i = 1; i <= n; ++i) read(a[i]);
for(int i = 1; i <= n; ++i) read(v[i]);
for(int i = 1; i <= n; ++i) {
if(!a[i]) add(S, i, v[i]);
else add(i, T, v[i]);
}
for(int i = 1; i <= m; ++i) {
int p = ++tot, to, W, k, f; read(to, W, k); vi vec;
for(int j = 1, x; j <= k; ++j) {
read(x);
if(!to) add(p, x, INF);
else add(x, p, INF);
}
read(f);
if(f) W += g, sum -= g;
sum += W;
if(!to) add(S, p, W);
else add(p, T, W);
}
printf("%lld\n", sum - dinic());
return 0;
}
