「题解」Codeforces 468C Hack it!

被构造橄榄了/ll

当 $i<10^{18}$ 时，有 $f(i)=f(i+10^{18})+1$．

设 $s=\sum_{i=1}^{10^{18}}f(i)$，根据结论，可以归纳证明 $\sum_{i=1+b}^{10^{18}+b}f(i)=s+b\pmod a$，所以当 $b=-s\pmod a$ 的时候，构造 $L=1+b,r=10^{18}+b$ 即可满足条件。

如何求出 $s$？求 $\sum_{i=1}^{10^{18}-1}$ 再 $+1$ 即可得到。

考虑任意一位数的贡献，其为 $(0+1+2+3+...+9)\times 10^{17}$，一共有 $18$ 位，所以 $s=45\times 18\times 10^{17}=81\times 10^{18}$．

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<vector>
#define pb emplace_back
#define mp std::make_pair
#define fi first
#define se second
typedef long long ll;
typedef std::pair<int, int> pii;
typedef std::pair<ll, int> pli;
typedef std::pair<ll, ll> pll;
typedef std::vector<int> vi;
typedef std::vector<ll> vll;
const ll mod = 998244353;
ll Add(ll x, ll y) { return (x+y>=mod) ? (x+y-mod) : (x+y); }
ll Mul(ll x, ll y) { return x * y % mod; }
ll Mod(ll x) { return x < 0 ? (x + mod) : (x >= mod ? (x-mod) : x); }
ll cadd(ll &x, ll y) { return x = (x+y>=mod) ? (x+y-mod) : (x+y); }
template <typename T> T Max(T x, T y) { return x > y ? x : y; }
template <typename T> T Min(T x, T y) { return x < y ? x : y; }
template <typename T>
T &read(T &r) {
	r = 0; bool w = 0; char ch = getchar();
	while(ch < '0' || ch > '9') w = ch == '-' ? 1 : 0, ch = getchar();
	while(ch >= '0' && ch <= '9') r = r * 10 + (ch ^ 48), ch = getchar();
	return r = w ? -r : r;
}
ll a, b, s = 1000000000000000000ll;
signed main() {
	read(a); s %= a; b = a-(s*9%a*9%a+1)%a;
	printf("%lld %lld\n", b+1, b+1000000000000000000ll);
	return 0;
}