若干 trick

CF 570D

一棵树，每个节点上有一个字母，每次查询点 \(x\) 的 \(y\) 级儿子的字母是否能重排成一个回文串。

trick：压位，只有01的信息（在此题中是奇偶性），可以压成一个 int 来并行计算，这样就可以砍掉一个 \(\log\)

用到类似trick的题：由乃的OJ

ARC 127C

给定 \(N,X\)，要求在 \([1,2^N-1]\) 的范围内找字典序排名第 \(X\) 小（没有前导零）的二进制数，其中 \(X\) 是以 \(2\) 进制给出的。

首先先假装 \(0\) 存在，这个是不要紧的，令 \(X\gets X-1\)．

然后数可以分成三类，\(0\)，\(10\) 开头的，\(11\) 开头的，如果 \(X=0\)，那么答案就是 \(0\)；否则，若 \(1\leq X<2^{N-1}\)，那么就是 \(10\) 开头，然后令 \(X\gets X-1\)（\(0\) 没有了），若 \(X>2^{N-1}\)，说明是 \(11\) 开头，\(X\) 减去 \(2^{N-1}\) 即可。

由于每次减去 \(2^{N-1}\) 的话是砍掉最高位可以 \(\mathcal{O}(1)\)，然后 \(-1\) 的话就暴力借位，对于每一位考虑最劣情况下借位次数，其数量是 \(\sum\left \lceil \frac{n}{2^i} \right \rceil =\mathcal{O}(n)\)．

trick：对于一个数，每次只有 \(+1\)，或者每次只有 \(-1\)，暴力进位/借位次数均摊下来是 \(\mathcal{O}(次数)\) 的。

AGC 052B

给定一棵树，每条边有一个初始边权和一个要得到的边权，每次可以选择一条边 \((u,v,w)\)，令这条边的所有邻边的权值都异或 \(w\)．

考虑边权转点权，让边权满足其为相邻点权的异或和，操作变成交换两个点的点权。

随便钦定一个为根，设 \(d_i\) 为初始时 \(i\) 的点权，\(f_i\) 是 \(i\) 期望得到为多少。如果存在 \(d,f\)，满足它们是相同的集合，就有解。

注意到如果确定了一个点的点权，那么其他所有点权都能唯一的确定。

现在钦定 \(f_i\) 为 \(i\) 到根路径上的边权和（或者说钦定 \(f_1=0\)），注意到任何一组解都能把所有点权异或 \(f_1\)，得到 \(f_1=0\) 的解，所以判断是否有解就判断 \(f_1=0\) 的时候是否有解。

现在 \(f\) 确定了，看是否存在 \(d\)，满足 \(d\) 和 \(f\) 是相同的集合。

现在继续钦定 \(d_i\) 为 \(i\) 到根路径上边权和，与 \(f\) 相同，所有可能为答案的 \(d'\) 都是 \(d\) 异或上一个 \(x\) 得到的。

那么有解的充分条件就是 \((d_1\oplus x)\oplus (d_2\oplus x)\oplus...\oplus (d_n\oplus x)=f_1\oplus f_2\oplus...\oplus f_n\)，由于 \(n\) 为奇数，所以可以解出 \(x\) 是多少。

由于这仅是充分条件，那么最后还要 \(\text{check}\) 一下是否合法。

trick：由充分（或者必要）条件可以得出答案可能的一种或多种取值，然后暴力判断必要（或者充分）条件是否满足。

AGC 045B

有个 \(01\) 序列，其中有些位置不确定。要确定这些位置，最小化区间 \(0\) 和 \(1\) 出现次数的差的绝对值的 \(\max\)。

作一下前缀和，问题变成使得前缀和的极差尽可能小。先考虑暴力怎么做是不是加边加边并查集，枚举前缀和 \(s\) 的最大值，然后从前往后贪心想使得最小值尽可能大，如果当前能填 \(+1\) 就填 \(+1\)，否则填 \(-1\)．

观察这个贪心，考虑到枚举的 \(s\) 的最大值 \(+2\) 之后，最多有一个 \(-1\) 变成了 \(+1\)，因为上界 \(+2\) 后又 \(-2\)，所以从那个位置之后的填法和之前是一样的。所以最大值 \(+2\) 之后，最大的最小值最多会 \(+2\)，故不会更优。

所以只枚举可能的最小的前缀和最大值及其 \(+1\) 即可。

trick：先考虑暴力怎么做，然后给暴力剪枝/优化

ARC 128A

初始有 \(1\) 黄金和 \(0\) 白银，接下来 \(n\) 天，在第 \(i\) 天可以选择什么也不做，或者把 \(x\) 黄金换成 \(x\times A_i\) 白银，把 \(x\) 白银换成 \(x/A_i\) 黄金。构造方案使得最终得到黄金最大。

假设现在有 \(x\) 克金子如果在第 \(i\) 天将金子换成银子，紧接着在第 \(j\) 天把银子换成金子，那么 \(x\gets x\times\frac{A_i}{A_j}\)．

• 把限制松一松，一天可以交换多次，发现和原问题等价，交换两次相当于没有交换。
• 把限制紧一紧，一次对换，即在第 \(i\) 天将金子换成银子，紧接着在第 \(j\) 天把银子换成金子。仅允许 \(i+1=j\) ．发现和原问题等价，\(i\) 天金到银，\(j\) 天银到金，等价于 \(i\) 天金到银，\(i+1\) 天银到金，\(i+1\) 天金到银，\(i+2\) 天银到金...\(j\) 天银到金。即 \((i,j)\) 对换，等价于 \((i,i+1),(i+1,i+2),...,(j-1,j)\) 对换。

问题转化成让 \(1\) 克金子，每次可以乘上 \(\frac{A_{i}}{A_{i+1}}\)，所以只有 \(A_i>A_{i+1}\) 的时候，才选择对换 \((i,i+1)\)．

对应回原问题，一笔交易被对换奇数次才相当于做这一笔交易。

trick：限制松一松/紧一紧发现和原问题等价。

Code

思维不好怎么办？第一眼可以看出暴力 dp，设 \(f_{i,0/1}\) 代表在做完前 \(i\) 笔交易，手里拿的金子/银子的最大克数，转移的时候判断大小，用 \(\log\) 来比较就可以。对应了[Code+#4]组合数问题2这道题的 trick，数比较大且运算只有乘除法/次方的时候用 \(\log\) 比较大小。

CF 506D

给定一张无向图，每次询问给定 \(u,v\)，求有多少 \(c\) 满足至少存在一条 \(u\) 到 \(v\) 的路径，其颜色均为 \(c\)．

想不出来的时候就想暴力，然后优化优化，然后尝试平衡复杂度（虽然这题没有把两个暴力拼起来平衡复杂度）

对于每一个颜色开个并查集，会用到的点数只有 \(2m\) 个。

然后对于一个询问 \((u,v)\)，对其中一个点出边的颜色所在的并查集，看 \(u,v\) 是否连通，由于 \(u,v\) 是等价的，所以查询度数 \(d\) 较小的那一边。

如果一个询问询问了多次，可以直接用之前已经得出的答案。

这个复杂度是有理有据的，对于 \(d>\sqrt{2m}\) 的点，最多有 \(\sqrt{2m}\) 个，查询的复杂度为 \(\mathcal{O}(\sqrt{2m}\times \sqrt{2m}\times \sqrt{2m})=\mathcal{O}(m\sqrt m)\)．

对于 \(d<\sqrt{m}\) 的点，最多查询 \(q\) 次，查询的复杂度为 \(\mathcal{O}(q\sqrt m)\)，如果把并查集的复杂度看成常数的话总复杂度就是 \(\mathcal{O}((m+q)\sqrt m)\)．

应该还有其他拼暴力的方法，但这个一个暴力就够了。

CF 383E

给出 \(n\) 个长度为 \(3\) 的由小写字母组成的单词，一个单词是正确的当且仅当其包含至少一个元音字母。这里的元音字母是 a 到 x 的一个子集。对于所有元音字母集合，求这 \(n\) 个单词中正确单词的数量平方的异或和。

设总有效字符数为 \(m=24\)

对于一个集合而言，答案为 包含其中一个字母的单词数 \(-\) 同时包含两个字母的单词数 \(+\) 同时包含三个字母的单词数。

同时包含三个字母的单词数就是完全包含在集合中的单词数，做个高维前缀和就可以了。复杂度 \(\mathcal{O}(2^mm)\)

只看前两项，\(f_S\) 为集合元音字母集合为 \(S\) 时的答案，从 \(f_{S-\mathrm{lowbit}(S)}\) 转移而来。复杂度 \(\mathcal{O}(2^mm)\)

有更简单做法：

经典套路正难则反：与集合有交的集合数 \(=\) 总集合数 \(-\) 与集合不相交集合个数 \(=\) 总集合数 \(-\) 其补集的子集出现次数。

这样一遍高维前缀和就ok了。

CF 715C

给定一棵树，边权 \(1 \leq w\leq 9\)。给定一个数 \(M\)，保证 \(\gcd(M,10)=1\)．

对于一对有序的不同的顶点 \((u, v)\)，他沿着从顶点 \(u\) 到顶点 \(v\) 的最短路径，按经过顺序写下他在路径上遇到的所有数字（从左往右写），如果得到一个可以被 \(M\) 整除的十进制整数，那么就认为 \((u,v)\) 是有趣的点对。

求有趣的对的数量。

树上满足某种条件的路径个数要想到点分治

点分治，对于一个分治中心，求出子树中每个节点自上而下的数字 \(d_1\pmod m\)，匹配上另一个自下而上的数字 \(d_2\pmod m\)，其深度为 \(k\)，要满足 \(d_2+d_1\times 10^k\equiv 0\pmod m\Rightarrow d_2\times 10^{-k}+d_1\equiv 0\pmod m,(\because (m,10)=1)\)，开个 map 统计就可以了。时间复杂度 2log（map）或者 1log（unordered_map）

CF 555E

给定一张 \(n\) 个点 \(m\) 条边的无向图和 \(q\) 组点对 \((s,t)\)，现在要给每条边定向成有向图。

询问是否存在一种定向方案使得所有 \(s\) 都能到达 \(t\)．

点对之间是否存在可达路径 \(\to\) Tarjan（不要想支配树了啊喂你又不会建支配树）

按照边双缩个点，缩出来一棵树。一个边双内的点对肯定能互相到达，连出来一个环就可以。现在只有边双之间的点对，看看是否能满足所有的 \(s\to t\)，随便钦点一个根，有边既要朝向根又要朝向叶子就不合法，用个树上差分解决。

自己瞎编的边差分竟然是麻烦了，点权代表点和父亲的边权，边差分作子树和更好写。