若干 trick

CF 570D

一棵树，每个节点上有一个字母，每次查询点 $x$ 的 $y$ 级儿子的字母是否能重排成一个回文串。

trick：压位，只有01的信息（在此题中是奇偶性），可以压成一个 int 来并行计算，这样就可以砍掉一个 $\log$

用到类似trick的题：由乃的OJ

ARC 127C

给定 $N,X$，要求在 $[1,2^N-1]$ 的范围内找字典序排名第 $X$ 小（没有前导零）的二进制数，其中 $X$ 是以 $2$ 进制给出的。

首先先假装 $0$ 存在，这个是不要紧的，令 $X\gets X-1$．

然后数可以分成三类，$0$，$10$ 开头的，$11$ 开头的，如果 $X=0$，那么答案就是 $0$；否则，若 $1\leq X<2^{N-1}$，那么就是 $10$ 开头，然后令 $X\gets X-1$（$0$ 没有了），若 $X>2^{N-1}$，说明是 $11$ 开头，$X$ 减去 $2^{N-1}$ 即可。

由于每次减去 $2^{N-1}$ 的话是砍掉最高位可以 $\mathcal{O}(1)$，然后 $-1$ 的话就暴力借位，对于每一位考虑最劣情况下借位次数，其数量是 $\sum\left \lceil \frac{n}{2^i} \right \rceil =\mathcal{O}(n)$．

trick：对于一个数，每次只有 $+1$，或者每次只有 $-1$，暴力进位/借位次数均摊下来是 $\mathcal{O}(次数)$ 的。

AGC 052B

给定一棵树，每条边有一个初始边权和一个要得到的边权，每次可以选择一条边 $(u,v,w)$，令这条边的所有邻边的权值都异或 $w$．

考虑边权转点权，让边权满足其为相邻点权的异或和，操作变成交换两个点的点权。

随便钦定一个为根，设 $d_i$ 为初始时 $i$ 的点权，$f_i$ 是 $i$ 期望得到为多少。如果存在 $d,f$，满足它们是相同的集合，就有解。

注意到如果确定了一个点的点权，那么其他所有点权都能唯一的确定。

现在钦定 $f_i$ 为 $i$ 到根路径上的边权和（或者说钦定 $f_1=0$），注意到任何一组解都能把所有点权异或 $f_1$，得到 $f_1=0$ 的解，所以判断是否有解就判断 $f_1=0$ 的时候是否有解。

现在 $f$ 确定了，看是否存在 $d$，满足 $d$ 和 $f$ 是相同的集合。

现在继续钦定 $d_i$ 为 $i$ 到根路径上边权和，与 $f$ 相同，所有可能为答案的 $d'$ 都是 $d$ 异或上一个 $x$ 得到的。

那么有解的充分条件就是 $(d_1\oplus x)\oplus (d_2\oplus x)\oplus...\oplus (d_n\oplus x)=f_1\oplus f_2\oplus...\oplus f_n$，由于 $n$ 为奇数，所以可以解出 $x$ 是多少。

由于这仅是充分条件，那么最后还要 $\text{check}$ 一下是否合法。

trick：由充分（或者必要）条件可以得出答案可能的一种或多种取值，然后暴力判断必要（或者充分）条件是否满足。

AGC 045B

有个 $01$ 序列，其中有些位置不确定。要确定这些位置，最小化区间 $0$ 和 $1$ 出现次数的差的绝对值的 $\max$。

作一下前缀和，问题变成使得前缀和的极差尽可能小。先考虑暴力怎么做是不是加边加边并查集，枚举前缀和 $s$ 的最大值，然后从前往后贪心想使得最小值尽可能大，如果当前能填 $+1$ 就填 $+1$，否则填 $-1$．

观察这个贪心，考虑到枚举的 $s$ 的最大值 $+2$ 之后，最多有一个 $-1$ 变成了 $+1$，因为上界 $+2$ 后又 $-2$，所以从那个位置之后的填法和之前是一样的。所以最大值 $+2$ 之后，最大的最小值最多会 $+2$，故不会更优。

所以只枚举可能的最小的前缀和最大值及其 $+1$ 即可。

trick：先考虑暴力怎么做，然后给暴力剪枝/优化

ARC 128A

初始有 $1$ 黄金和 $0$ 白银，接下来 $n$ 天，在第 $i$ 天可以选择什么也不做，或者把 $x$ 黄金换成 $x\times A_i$ 白银，把 $x$ 白银换成 $x/A_i$ 黄金。构造方案使得最终得到黄金最大。

假设现在有 $x$ 克金子如果在第 $i$ 天将金子换成银子，紧接着在第 $j$ 天把银子换成金子，那么 $x\gets x\times\frac{A_i}{A_j}$．

• 把限制松一松，一天可以交换多次，发现和原问题等价，交换两次相当于没有交换。
• 把限制紧一紧，一次对换，即在第 $i$ 天将金子换成银子，紧接着在第 $j$ 天把银子换成金子。仅允许 $i+1=j$ ．发现和原问题等价，$i$ 天金到银，$j$ 天银到金，等价于 $i$ 天金到银，$i+1$ 天银到金，$i+1$ 天金到银，$i+2$ 天银到金...$j$ 天银到金。即 $(i,j)$ 对换，等价于 $(i,i+1),(i+1,i+2),...,(j-1,j)$ 对换。

问题转化成让 $1$ 克金子，每次可以乘上 $\frac{A_{i}}{A_{i+1}}$，所以只有 $A_i>A_{i+1}$ 的时候，才选择对换 $(i,i+1)$．

对应回原问题，一笔交易被对换奇数次才相当于做这一笔交易。

trick：限制松一松/紧一紧发现和原问题等价。

Code

思维不好怎么办？第一眼可以看出暴力 dp，设 $f_{i,0/1}$ 代表在做完前 $i$ 笔交易，手里拿的金子/银子的最大克数，转移的时候判断大小，用 $\log$ 来比较就可以。对应了[Code+#4]组合数问题2这道题的 trick，数比较大且运算只有乘除法/次方的时候用 $\log$ 比较大小。

CF 506D

给定一张无向图，每次询问给定 $u,v$，求有多少 $c$ 满足至少存在一条 $u$ 到 $v$ 的路径，其颜色均为 $c$．

想不出来的时候就想暴力，然后优化优化，然后尝试平衡复杂度（虽然这题没有把两个暴力拼起来平衡复杂度）

对于每一个颜色开个并查集，会用到的点数只有 $2m$ 个。

然后对于一个询问 $(u,v)$，对其中一个点出边的颜色所在的并查集，看 $u,v$ 是否连通，由于 $u,v$ 是等价的，所以查询度数 $d$ 较小的那一边。

如果一个询问询问了多次，可以直接用之前已经得出的答案。

这个复杂度是有理有据的，对于 $d>\sqrt{2m}$ 的点，最多有 $\sqrt{2m}$ 个，查询的复杂度为 $\mathcal{O}(\sqrt{2m}\times \sqrt{2m}\times \sqrt{2m})=\mathcal{O}(m\sqrt m)$．

对于 $d<\sqrt{m}$ 的点，最多查询 $q$ 次，查询的复杂度为 $\mathcal{O}(q\sqrt m)$，如果把并查集的复杂度看成常数的话总复杂度就是 $\mathcal{O}((m+q)\sqrt m)$．

应该还有其他拼暴力的方法，但这个一个暴力就够了。

CF 383E

给出 $n$ 个长度为 $3$ 的由小写字母组成的单词，一个单词是正确的当且仅当其包含至少一个元音字母。这里的元音字母是 a 到 x 的一个子集。对于所有元音字母集合，求这 $n$ 个单词中正确单词的数量平方的异或和。

设总有效字符数为 $m=24$

对于一个集合而言，答案为 包含其中一个字母的单词数 $-$ 同时包含两个字母的单词数 $+$ 同时包含三个字母的单词数。

同时包含三个字母的单词数就是完全包含在集合中的单词数，做个高维前缀和就可以了。复杂度 $\mathcal{O}(2^mm)$

只看前两项，$f_S$ 为集合元音字母集合为 $S$ 时的答案，从 $f_{S-\mathrm{lowbit}(S)}$ 转移而来。复杂度 $\mathcal{O}(2^mm)$

有更简单做法：

经典套路正难则反：与集合有交的集合数 $=$ 总集合数 $-$ 与集合不相交集合个数 $=$ 总集合数 $-$ 其补集的子集出现次数。

这样一遍高维前缀和就ok了。

CF 715C

给定一棵树，边权 $1 \leq w\leq 9$。给定一个数 $M$，保证 $\gcd(M,10)=1$．

对于一对有序的不同的顶点 $(u, v)$，他沿着从顶点 $u$ 到顶点 $v$ 的最短路径，按经过顺序写下他在路径上遇到的所有数字（从左往右写），如果得到一个可以被 $M$ 整除的十进制整数，那么就认为 $(u,v)$ 是有趣的点对。

求有趣的对的数量。

树上满足某种条件的路径个数要想到点分治

点分治，对于一个分治中心，求出子树中每个节点自上而下的数字 $d_1\pmod m$，匹配上另一个自下而上的数字 $d_2\pmod m$，其深度为 $k$，要满足 $d_2+d_1\times 10^k\equiv 0\pmod m\Rightarrow d_2\times 10^{-k}+d_1\equiv 0\pmod m,(\because (m,10)=1)$，开个 map 统计就可以了。时间复杂度 2log（map）或者 1log（unordered_map）

CF 555E

给定一张 $n$ 个点 $m$ 条边的无向图和 $q$ 组点对 $(s,t)$，现在要给每条边定向成有向图。

询问是否存在一种定向方案使得所有 $s$ 都能到达 $t$．

点对之间是否存在可达路径 $\to$ Tarjan（不要想支配树了啊喂你又不会建支配树）

按照边双缩个点，缩出来一棵树。一个边双内的点对肯定能互相到达，连出来一个环就可以。现在只有边双之间的点对，看看是否能满足所有的 $s\to t$，随便钦点一个根，有边既要朝向根又要朝向叶子就不合法，用个树上差分解决。

自己瞎编的边差分竟然是麻烦了，点权代表点和父亲的边权，边差分作子树和更好写。