「杂谈」贪心中的邻项交换法

对于集合 $S$ 上的二元关系 $<$，如果 $<$ 满足自反性、反对称性、传递性、不可比则称其满足严格弱序，形式化地来讲：

• 非自反性，Irreflexivity：$\forall x\in S,x\not <x$；
• 传递性，Transitivity：$\forall x,y,z\in S, \text{if}\ x<y\ \text{and}\ y<z\ \text{then}\ x<z$；
• 反对称性，Asymmetry：$\forall x,y\in S,\text{if}\ x<y\ \text{then}\ y\not < x$；
• 不可比性的传递性，Transitivity of incomparability：$\forall x,y,z\in S$ ，如果 $x,y$ 不可比且 $y,z$ 不可比，则 $x,z$ 不可比，其中 $x,y$ 不可比当且仅当 $x\not < y$ 且 $y\not < x$

对于贪心策略中的“邻项交换法”，定义的二元关系必须要满足严格弱序才可以，前三条很好理解，最后一条要满足是因为，如果排序后存在相邻不可比元素 $a,b,c$，其中 $a$ 和 $b$ 不可比，$b$ 和 $c$ 不可比，如果无法保证 $a$ 和 $c$ 不可比，那么需要比较 $a$ 和 $c$ 哪一个更“小”，让其位于前面，但由于不满足不可比性的传递性，所以无法处理这种情况。

综上所述，完成"邻项交换法"所定义的二元关系需要满足弱序关系，且排序结束后任意交换两个相邻元素不会使得答案更优。

栗题

洛谷 P1080 [NOIP2012 提高组] 国王游戏

洛谷 P2123 皇后游戏

Reference

浅谈邻项交换排序的应用以及需要注意的问题 ouuan

One thing you should know about comparators — Strict Weak Ordering