「杂谈」贪心中的邻项交换法
对于集合 \(S\) 上的二元关系 \(<\)，如果 \(<\) 满足自反性、反对称性、传递性、不可比则称其满足严格弱序，形式化地来讲：
- 非自反性，Irreflexivity：\(\forall x\in S,x\not <x\)；
- 传递性，Transitivity：\(\forall x,y,z\in S, \text{if}\ x<y\ \text{and}\ y<z\ \text{then}\ x<z\)；
- 反对称性，Asymmetry：\(\forall x,y\in S,\text{if}\ x<y\ \text{then}\ y\not < x\)；
- 不可比性的传递性，Transitivity of incomparability：\(\forall x,y,z\in S\) ，如果 \(x,y\) 不可比且 \(y,z\) 不可比，则 \(x,z\) 不可比，其中 \(x,y\) 不可比当且仅当 \(x\not < y\) 且 \(y\not < x\)
对于贪心策略中的“邻项交换法”，定义的二元关系必须要满足严格弱序才可以，前三条很好理解，最后一条要满足是因为，如果排序后存在相邻不可比元素 \(a,b,c\)，其中 \(a\) 和 \(b\) 不可比，\(b\) 和 \(c\) 不可比，如果无法保证 \(a\) 和 \(c\) 不可比，那么需要比较 \(a\) 和 \(c\) 哪一个更“小”，让其位于前面，但由于不满足不可比性的传递性，所以无法处理这种情况。
综上所述，完成"邻项交换法"所定义的二元关系需要满足弱序关系，且排序结束后任意交换两个相邻元素不会使得答案更优。
栗题
Reference
One thing you should know about comparators — Strict Weak Ordering
