「杂谈」原来我不会线段树懒标记以及永久化

原来我不会线段树懒标记以及永久化。

虽然很多时候用线段树只是什么区间加区间和，区间加区间最值，区间推平区间求和等等，大部分都是不知背后的所以然就瞎打标记就 ok 了，没想到背后还有道理要探寻，免得最后自己跳进了坑里才发现是线段树/树套树没写对。

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如果是正常打懒标记，是需要这个标记在时间轴上有结合律的，可以不满足交换律。

回想线段树懒标记下放的过程就可以感性理解是为什么，因为在打标记的时候我们把标记 $t_3$ 下放了，后来的标记 $t_3$ 一定在前面的标记 $t_2$ 后面，所以不需要满足结合律，然而下放标记 $t_2$ 的时候可能和前面的标记 $t_1$ 合并，但 $t_1$ 还没有和更前面的标记 $t_0$ 合并，如果 $(t_2\to t_1)\to t_0\neq t_2\to (t_1\to t_0)$ 就 GG 了，这里的 $a\to b$ 就是把两个标记 $a,b$ 合并，前面的 $a$ 合并到了 $b$ 上面，是我瞎定义的符号，是为了突出这个运算是有先后顺序的。

比方说加法乘法标记我们维护了一个 $ax+b$，如果两个标记 $t_0=(a_0,b_0),t_1=(a_1,b_1)$ 把他们合并，最终的标记就是 $t_1\to t_0=(a_0a_1,b_0a_1+b_1)$，假设有三个先后出现的标记 $t_0,t_1,t_2$，我们发现 $(t_2\to t_1)\to t_0= t_2\to (t_1 to t_0)$。这个就是标记在时间轴上具有结合律，但它没有交换律，$t_1\to t_0=(a_0a_1,b_0a_1+b_1),t_0\to t_1=(a_1a_0,b_1a_0+b_0)$，这两个标记是不同的。

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回想起标记永久化的过程，需要标记在时间轴上具有结合律，是不是必须要求标记在时间轴上有交换律呢？

其实是不必要的，只需要对于两个标记 $a\to b$，如果能找到一个 $a'$ 使得 $a\to b=b\to a'$，在一个标记 $a$ 在线段树上往下走的时候，如果当前节点有个标记 $b$，让 $a$ 变成 $a'$ 就可以，因为标记永久化查询的时候不会 pushdown，所以运算顺序交换了一下，但原先是 $a\to b$，不得不把 $a$ 放在 $b$ 后面合并，就把 $a$ 变成 $a'$，使得标记永久化查询到的 $b\to a'$ 和 $a\to b$ 是等价的。

树套树的时候记得看一下能不能标记永久化。

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线段树题要考虑：

• 给区间整体打标记的时候，维护的值会发生什么变化；
• 给区间整体打标记的时候，标记之间如何合并；
• 是否能快速地 pushup。

Reference

zhqwq 我 根 本 不 会 线 段 树|线段树再学习笔记