「题解」洛谷 P4665 [BalticOI 2015]Network

以任意非叶节点为根求 dfs 树，设叶子节点为 $k$，答案的下界是 $\left\lceil\frac{k}{2}\right\rceil$，现在给出一组构造方案证明这个下界可以达到。

把叶子节点按照 dfn 排序，然后第 $i$ 个叶子连向第 $i+k/2$ 个叶子。

如果每条边都在一个环里，那么这个图没有割边，如果根节点的子树包含的叶子节点都 $<k/2$，那么每个叶子都能和另外一个子树的叶子匹配，显然每条边都会被覆盖到。

如果存在一个子树 $>k/2$，那么没有和子树外的点匹配的只有这个子树内的叶子，单独考虑这棵子树，一定是前若干个叶子和后若干个叶子匹配，如果它们不在这个子树的一棵子树内，就合法了，否则还会存在一个更下一层的子树，前若干个叶子和后若干个叶子匹配。如此递归下去，到了最底层的时候显然合法。

所以整个构造方案是合法的。