「题解」ARC061F Card Game for Three

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小 A，小 B，小 C 在玩游戏。他们每个人分别有 $n,m,k$ 张牌，每张牌上面写着 $a,b,c$ 三个字母中的其中一个，每个回合有一个人出牌，如果出牌为 $a$ 则小 A 下一个回合出牌，如果出牌为 $b$ 则小 B 下一个回合出牌，小 C 同理。若轮到某位玩家出牌时，其手中无牌，则该位玩家获胜。

现在小 A 第一个出牌，对所有 $3^{n+m+k}$ 种手牌拥有的可能性计算小 A 获胜的方案数，对 $10^9+7$ 取模。

如果按照打出的顺序排成一个长度为 $l$ 的序列，小 A 获胜当且仅当： $a$ 恰好出现了 $n$ 次且在最后一次出现， $b$ 出现了不多于 $m$ 次， $c$ 出现了不多于 $k$ 次。

而这个长度为 $l$ 的序列对应了 $3^{n+m+k-l}$ 种手牌拥有的情况。

$n$ 次是一定打的，枚举 $b,c$ 出现的次数 $t$ ，然后枚举 $b$ 出现的次数 $i$ ：

\sum_{t = 0}^{m + k} (\binom{n + t - 1}{n - 1}) 3^{m + k - t} \sum_{i = t - k}^{m} (\binom{t}{i})

$\sum_{t=0}^{m+k}\binom{n+t-1}{n-1}3^{m+k-t}\sum_{i=t-k}^{m}\binom{t}{i}$

第一个组合数是除了最后一个是 $a$ ，确定 $(n-1)$ 个 $a$ 的位置， $3^{m+k-t}$ 是计算的对应了多少种手牌拥有情况，最后一个组合数为在 $t$ 个 $b,c$ 都可以填的空位挑出 $i$ 个填 $b$ ，注意这个组合数可能会出现 $i<0$ 或 $i>t$ 的情况，由于是考虑其实际的组合意义，所以当出现这样的情况时视为 $0$ ．

最后一个实际上是组合数一行的区间和，~~众所周知~~这个的计算是困难的，由于这个区间和的形式比较特殊，考虑递推出这个东西：

\begin{aligned} S (t) = & \sum_{i = t - k}^{m} (\binom{t}{i}) \\ = & \sum_{i = t - k}^{m} (\binom{t - 1}{i - 1}) + \sum_{i = t - k}^{m} (\binom{t - 1}{i}) \\ = & \sum_{i = t - k - 1}^{m - 1} (\binom{t - 1}{i}) + \sum_{i = t - k}^{m} (\binom{t - 1}{i}) \\ = & 2 \cdot \sum_{i = t - k - 1}^{m} (\binom{t - 1}{i}) - (\binom{t - 1}{m}) - (\binom{t - 1}{t - k - 1}) \\ = & 2 \cdot S (t - 1) - (\binom{t - 1}{m}) - (\binom{t - 1}{t - k - 1}) \end{aligned}

$\begin{aligned} S(t)=&\sum_{i=t-k}^{m}\binom{t}{i} \\ =&\sum_{i=t-k}^{m}\binom{t-1}{i-1}+\sum_{i=t-k}^{m}\binom{t-1}{i} \\ =&\sum_{i=t-k-1}^{m-1}\binom{t-1}{i}+\sum_{i=t-k}^{m}\binom{t-1}{i} \\ =&\ 2\cdot\sum_{i=t-k-1}^{m}\binom{t-1}{i}-\binom{t-1}{m}-\binom{t-1}{t-k-1} \\ =&\ 2\cdot S(t-1)-\binom{t-1}{m}-\binom{t-1}{t-k-1} \end{aligned}$

至此，可以在 $\mathcal{O}(n+\log \bmod)$ 的时间复杂度内解决问题。