「题解」HDU 7095 / 2021 年百度之星·程序设计大赛 - 复赛 B Add or Multiply 1

你有一个数字 $x$ 和若干个操作，每个操作是 $+a_i$ 或者乘 $\times a_i$ 中的一种。你可以重新排列这些操作的顺序，然后对数字 $x$ 执行这些操作。

比如说三个操作是 $+a_1,+a_2,\times a_3$。如果按顺序执行这三个操作，那么得到的结果是 $((x+a_1)+a_2)\times a3$。如果排列成 $+a_2,\times a_3,+a_1$，那么得到的结果是 $((x+a_2)\times a_3)+a_1$。

我们会发现，有一些操作顺序计算出来的结果是本质相同的，比如说 $+a_1,+a_2,\times a_3$ 和 $+a_2,+a_1,\times a_3$这样运算下来结果是一样的。我们认为两个操作顺序计算的结果本质相同，当且仅当无论代入什么数，计算出来的结果都是一样的。

请问有多少种本质不同的操作序列。换句话说就是最多能找到多少个操作序列，使得这些操作序列任意两个都不是本质相同的。由于答案很大，输出对 $10^9+7$ 取模的结果。

在这个题目中，我们只会给出加法操作和乘法操作的个数，分别是 $n,m$，并不会给出具体的顺序和数字。容易发现，答案与具体的顺序和数字无关。

共 $T$ 组询问，$1\leq T\leq 10^4,1\leq n,m\leq 3000$．

把 $x$ 个有标号球放进 $y$ 个有区分非空盒子方案数 $=\ y!\times$ 把 $x$ 个有标号球放进 $y$ 个无区分非空盒子方案数 $=\ \begin{Bmatrix}x\\y\end{Bmatrix}y!$，设其为 $calc(x,y)$。

其中 $\begin{Bmatrix}x\\y\end{Bmatrix}$ 为第二类斯特林数。

考虑枚举有 $i$ 个连起来的乘法块，那么其方案数为 $calc(m,i)$．

$i$ 个乘法块形成了 $(i+1)$ 个空隙，两边的 $2$ 个可空，中间的 $(m-1)$ 个非空。

$n$ 个加法有三种方法：

1. 只放中间 $(m-1)$ 个（钦点两个可空的都不放）：$calc(n,i-1)$；

2. 钦点一个可空的为非空的，另一个不放：$calc(n,i)\times 2$；

3. 钦点两个可空的为非空的：$calc(n,i+1)$．

故答案为

$$\sum_{i=1}^mcalc(m,i)\times(calc(n,i-1)+calc(n,i-1)\times 2+calc(n,i+1))$$

时间复杂度为 $\mathcal{O}(m^2+Tm)$．

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