POJ 2311 Cutting Game 题解

前置芝士

Cutting Game

给定一张 \(N\times M\) 的矩形网格纸，两名玩家轮流行动。

在每一次行动中，可以任选一张矩形网格纸，沿着某一行或某一列的格线，把它剪成两部分。

首先剪出 \(1\times 1\) 的格纸的玩家获胜。

两名玩家都采取最优策略行动，求先手是否能获胜。

\(2\leq N,M\leq 200\)。

题目链接：POJ 2311 Cutting Game，ACWing 219. 剪纸游戏

Solution

最后终止条件为剪出 \(1\times 1\) 的获胜，不符公平组合游戏中的 "终止的局面为必败点" 的性质，但可以转化终止的局面，使得终止的局面为必败点。

能剪出 \(1\times 1\) 的纸片当且仅当当前为 \(1\times x\) 或 \(x\times 1,x>1\) 的纸片，这些纸片一定是必败点。

那么把终点定义成当前局面为 \(1\times x\) 或 \(x\times 1,x>1\)，就满足了公平组合游戏的性质。

设 \(SG(x,y)\) 为 \(x\times y\) 的局面的 SG 函数值。一刀可以横着切也可以竖着切，切完一刀后是分成了两个局面，由 SG 定理，如果这样切当前 SG 函数的值就为分成的两个局面的 SG 函数值的异或值。

所以有：

\[SG(x,y)=\text{mex}(\{SG(i,y)\oplus SG(x-i,y)\mid 2\leq x-2\}\cup \{SG(x,i)\oplus SG(x,y-i)\mid 2\leq i\leq y-2\}) \]

注意到 \(SG\) 不会超过 \(N,M\)，则可以在 \(\mathcal{O}(N^3)\) 的复杂度内求解，也就是 \(\mathcal{O}(N^2)\) 枚举，单次 \(\mathcal{O}(N)\) 转移。

Code

int n, m;
int SG[210][210], vis[210];
void pre() {
	for(int x = 2; x <= 200; ++x)
		for(int y = 2; y <= 200; ++y) {
			for(int i = 0; i <= 200; ++i) vis[i] = 0;
			for(int i = 2; x - i >= 2; ++i) vis[SG[i][y] ^ SG[x-i][y]] = 1;
			for(int i = 2; y - i >= 2; ++i) vis[SG[x][i] ^ SG[x][y-i]] = 1;
			for(int i = 0; i <= 200; ++i)
				if(!vis[i]) {
					SG[x][y] = i;
					break;
				}
		}
}
signed main() {
	pre();
	while(scanf("%d%d", &n, &m) != EOF)
		printf("%s\n", SG[n][m] == 0 ? "LOSE" : "WIN");
	return 0;
}