POJ 2311 Cutting Game 题解

前置芝士

Cutting Game

给定一张 $N\times M$ 的矩形网格纸，两名玩家轮流行动。

在每一次行动中，可以任选一张矩形网格纸，沿着某一行或某一列的格线，把它剪成两部分。

首先剪出 $1\times 1$ 的格纸的玩家获胜。

两名玩家都采取最优策略行动，求先手是否能获胜。

$2\leq N,M\leq 200$。

题目链接：POJ 2311 Cutting Game，ACWing 219. 剪纸游戏

Solution

最后终止条件为剪出 $1\times 1$ 的获胜，不符公平组合游戏中的 "终止的局面为必败点" 的性质，但可以转化终止的局面，使得终止的局面为必败点。

能剪出 $1\times 1$ 的纸片当且仅当当前为 $1\times x$ 或 $x\times 1,x>1$ 的纸片，这些纸片一定是必败点。

那么把终点定义成当前局面为 $1\times x$ 或 $x\times 1,x>1$，就满足了公平组合游戏的性质。

设 $SG(x,y)$ 为 $x\times y$ 的局面的 SG 函数值。一刀可以横着切也可以竖着切，切完一刀后是分成了两个局面，由 SG 定理，如果这样切当前 SG 函数的值就为分成的两个局面的 SG 函数值的异或值。

所以有：

$$SG(x,y)=\text{mex}(\{SG(i,y)\oplus SG(x-i,y)\mid 2\leq x-2\}\cup \{SG(x,i)\oplus SG(x,y-i)\mid 2\leq i\leq y-2\})$$

注意到 $SG$ 不会超过 $N,M$，则可以在 $\mathcal{O}(N^3)$ 的复杂度内求解，也就是 $\mathcal{O}(N^2)$ 枚举，单次 $\mathcal{O}(N)$ 转移。

Code

int n, m;
int SG[210][210], vis[210];
void pre() {
	for(int x = 2; x <= 200; ++x)
		for(int y = 2; y <= 200; ++y) {
			for(int i = 0; i <= 200; ++i) vis[i] = 0;
			for(int i = 2; x - i >= 2; ++i) vis[SG[i][y] ^ SG[x-i][y]] = 1;
			for(int i = 2; y - i >= 2; ++i) vis[SG[x][i] ^ SG[x][y-i]] = 1;
			for(int i = 0; i <= 200; ++i)
				if(!vis[i]) {
					SG[x][y] = i;
					break;
				}
		}
}
signed main() {
	pre();
	while(scanf("%d%d", &n, &m) != EOF)
		printf("%s\n", SG[n][m] == 0 ? "LOSE" : "WIN");
	return 0;
}