Codeforces 1470B Strange Definition

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$\mathcal{Translate}$

注: "$x,y$ adjacent" 译作 "$x,y$ 相邻"

定义 $x,y$ 相邻需要满足 $\frac{lcm(x,y)}{gcd(x,y)}$ 是完全平方数。

共有 $t$ 组数据。

对于每一种数据，给定长度为 $n$ 的序列 $a_i$，从第 $1$ 秒 $a$ 开始变换，每一次 $a_i$ 变成所有与它相邻的数的乘积（包括它自己）。

定义 $d_i$ 为 $a$ 中与 $a_i$ 相邻的数的个数。

共有 $q$ 次询问，每次询问给出一个 $w$，回答第 $w$ 秒时（也就是经过 $w$ 次变换后）的 $\max d_i$。

$\mathcal{Solution}$

$\frac{lcm(x,y)}{gcd(x,y)}=\frac{x\times y}{gcd(x,y)^2}$

$\because gcd(x,y)^2$ 是完全平方数。

$\therefore \frac{x\times y}{gcd(x,y)^2}$ 是完全平方数等价于 $x\times y$ 是完全平方数。

若 $x\times y$ 是完全平方数。

$\therefore x\times y$ 质因数分解后每个底数的指数都是偶数。

$\therefore x,y$ 分别质因数分解之后各个底数的指数奇偶性相同。

到这里显然可以得出相邻是具有传递性的。

考虑把每个串质因数分解后出的指数模 $2$ 看成一个 $01$ 串，若 $01$ 串相等则这两个数是相邻的。

若多个数相乘，最后的乘积的 $01$ 串为所有因数的 $01$ 串的异或后结果（看成每个质因子分别相乘即可说明此点）。

那么考虑对相同的 $01$ 串看成一个集合，考虑一次变换，若 $01$ 串为全 $0$ 或集合大小为奇数则这些 $01$ 串不变，否则这些 $01$ 串都变成 $0$。

那么显然只有第一次变换是有用的，这会使所有集合大小为偶数的 $01$ 串变成全 $0$。

分别统计第 $0$ 秒和第 $1$ 秒时的答案即可，后面的答案和第 $1$ 秒相同。

把 $01$ 串为 $1$ 的位置拿下来哈希放在一个 $map$ 里面就能做了。

一组数据的时间复杂度为 $\mathcal{O}(n\log n+n\sqrt{\max a_i})$

$\mathcal{Code}$

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<map>
#define pb push_back
#define pp std::pair<unsigned long long, unsigned long long> 
#define mp std::make_pair
#define fir first
#define sec second
#define ll long long
#define re register
#define ull unsigned long long
//#define int long long
inline int Max(int x, int y) { return x > y ? x : y; }
inline int Min(int x, int y) { return x < y ? x : y; }
inline int Abs(int x) { return x < 0 ? ~x + 1 : x; }
inline int read() {
	int r = 0; bool w = 0; char ch = getchar();
	while(ch < '0' || ch > '9') {
		if(ch == '-') w = 1;
		ch = getchar();
	}
	while(ch >= '0' && ch <= '9') {
		r = (r << 3) + (r << 1) + (ch ^ 48);
		ch = getchar();
	}
	return w ? ~r + 1 : r;
}
//#undef int
const int N = 300010;
const ull base = 21841;
const ull mod = 29050993; 
const ull base2 = 1429;
const ull mod2 = 68861641;
int n, a[N], ans1, ans2;
pp hs[N];
std::map<pp, int>vis;

pp hasher(int x) {
	std::vector<int>vec; int xx = x;
	for(int i = 2; i * i <= xx; ++i)
		if(x % i == 0) {
			int ct = 0;
			while(x % i == 0) x /= i, ++ct;
			if(ct&1) vec.pb(i); 
		}
	if(x > 1) vec.pb(x);
	ull sum1 = 0, sum2 = 0;
	std::sort(vec.begin(), vec.end());
	int len = vec.size(); 
	for(int i = 0; i < len; ++i) sum1 = (sum1 * base % mod + (ull)vec[i]) % mod;
	for(int i = 0; i < len; ++i) sum2 = (sum2 * base2 % mod2 + (ull)vec[i]) % mod2;
	return mp(sum1, sum2);
}

void solve() {
	n = read(); vis.clear(); ans1 = ans2 = 0;
	for(int i = 1; i <= n; ++i) a[i] = read();
	for(int i = 1; i <= n; ++i) hs[i] = hasher(a[i]), vis[hs[i]]++, ans1 = Max(ans1, vis[hs[i]]);
	for(int i = 1; i <= n; ++i) if(vis[hs[i]] % 2 == 0 || hs[i].fir + hs[i].sec == 0) ans2 += vis[hs[i]], vis[hs[i]] = 0;
	ans2 = Max(ans1, ans2);
	int q = read();
	ll x;
	while(q--) {
		scanf("%lld", &x);
		if(x == 0) printf("%d\n", ans1);
		else printf("%d\n", ans2);
	}
}

signed main() {
	int T = read();
	while(T--) solve(); 
	return 0;
}