Codeforces 1438D Powerful Ksenia

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给定长度为 \(n\) 的序列 \(a\)，现在有这样一种操作：选择 \((i,j,k)\) 满足 \(1\leq i,j,k\leq n,i\neq j\neq k\)，将 \(a_i,a_j,a_k\) 分别替换为 \(a_i\oplus a_j\oplus a_k\)，询问是否可以在 \(n\) 次及以下的操作次数内将这个序列的所有数都相等，如果可以的话给出构造方案。

\(3\leq n\leq 10^5,1\leq a_i \leq 10^9\)

\(\mathcal{Solution}\)

考虑一次操作带来了什么：

1. 将三个数推平，也就是把任意三个数变成相等的一个数。

2. 如果三个数中有两个相等，那么相当于把三个数都推平成除了那两个相等的第三个数。

1.是显然的，因为操作就是把它们三个推平。

2.是因为如果其中 \(a_i=a_j\)，那么 \(a_i\oplus a_j=0\)，则 \(a_i\oplus a_j\oplus a_k=0\oplus a_k=a_k\)。

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此时对于 \(n\) 为奇数的时候的构造方法就十分明显了，利用1.把整个序列推平成两个两个相等的小段，再用2.通过最后一个不一样的数把前面的小段都推平成最后的那个数，操作总数共有 \((n-2)\) 个。

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对于 \(n\) 为偶数的时候呢？

首先有一个结论，一次操作不会对序列的总按位异或和产生改变。

设操作前按位异或和为 \(sum\)，则一次操作相当于 \(sum=sum\oplus a_i\oplus a_j\oplus a_i\oplus a_k\oplus a_j\oplus a_k\)，化简一下发现 \(sum\) 还是 \(sum\)。

则原先序列 \(sum\) 为 \(0\) 是有解的必要条件，因为偶数个相同的数按位异或和为 \(0\)。

当 \(sum\) 不为 \(0\) 的时候无解，当 \(sum\) 为 \(0\) 的时候不看最后一个数正常用奇数做法做前 \((n-1)\) 个数，发现最后它们都相等了。

设前 \((n-1)\) 个数推平后的数为 \(x\)，则前 \((n-1)\) 个数的按位异或和为 \(x\)，因为总的按位异或和为 \(0\)，两个数异或一下就是最后一个数的值，\(x\oplus 0=x\)，所以最后一个数也为 \(x\)，故这种做法是可行的。

\(\mathcal{Code}\)

//Code by do_while_true
#include<iostream>
#include<cstdio>
inline int read() {
	int r = 0; bool w = 0; char ch = getchar();
	while(ch < '0' || ch > '9') {
		if(ch == '-') w = 1;
		ch = getchar();
	}
	while(ch >= '0' && ch <= '9') {
		r = (r << 3) + (r << 1) + (ch ^ 48);
		ch = getchar();
	}
	return w ? ~r + 1 : r;
}
const int N = 100010; 
int n, a[N], sum;
signed main() {
	n = read();
	for(int i = 1; i <= n; ++i) a[i] = read(), sum ^= a[i];
	if(!(n&1)) {
		--n;
		if(sum) {
			puts("NO");
			return 0;
		} 
	}
	puts("YES");
	printf("%d\n", n-2);
	for(int i = 1; i + 2 <= n; i += 2) printf("%d %d %d\n", i, i+1, i+2);
	for(int i = 1; i + 1 <= n - 3; i += 2) printf("%d %d %d\n", i, i+1, n);
	return 0;
}