「学习笔记」极度精简好理解的exgcd
前言
本文通过尽量短，通俗易懂的形式帮助大家理解最简单的 exgcd。
前置知识：
裴蜀定理：
\[ax+by=c,x\in \mathbb{Z}^*,y\in \mathbb{Z}^*有解的充要条件是\gcd (a,b)|c
\]
欧几里得算法（辗转相除法）
\[\gcd(a,b)=\gcd(b,a\bmod b)\ \ \ (b\neq 0)
\]
模运算的本质:
\[a\bmod b = a - \left\lfloor \frac{a}{b}\right\rfloor b
\]
其中 \(\left\lfloor \frac{a}{b}\right\rfloor\) 指的是 \(\frac{a}{b}\) 下取整。
正片：
exgcd，扩展欧几里得，扩欧，是求下面这个不定方程解的方法:
\[ax+by=\gcd(a,b)
\]
把后面的 \(\gcd(a,b)\) 辗转相除一下再写成类似的形式（这里的 \(x',y'\) 是对应 \(\gcd(b,a\bmod b)\) 的 \(x,y\)，和上面的 \(x,y\) 没有关系）：
\[bx'+(a\bmod b)y'=\gcd(b,a\bmod b)
\]
\[ax+by=\gcd(a,b)=\gcd(b,a\bmod b)=bx'+(a-\left\lfloor\frac{a}{b}\right\rfloor b)y'
\]
\[ax+by=bx'+(a-\left\lfloor\frac{a}{b}\right\rfloor b)y'
\]
因为要求解 \(x,y\)，所以假设我们已经求解了 \(x',y'\)，则要按 \(a,b\) 把两个方程分开，然后就可以递归求解了。（貌似没有为什么，就是这么处理然后是可以递归求解的）
\[ax+by=ay'+b(x'-\left\lfloor \frac{a}{b}\right\rfloor
y')
\]
解出 \(x,y\) 就要求解 \(x'y'\)，注意求解 \(x'y'\) 的时候，他们对应的 \(a,b\) 实际上是原先 \(x,y\) 的 \(a,b\) 的 \(b,a\bmod b\)。
递归就能求出 \(ax+by=\gcd(a,b)\) 一组特解了，最后当 \(b=0\) 的时候递归终止，此时 \(ax+by=\gcd(a,b)\) 的解显然是 \(x=1,y=0\) （ \(0\) 和非零数的 \(\gcd\) 仍为那个数本身）。
扩展欧几里得算法得到的特解一定有 \(|x|\leq a, |y|\leq b\)。
设解出的特解为 \(x_0,y_0\)，则通解为 \(x_0+\frac{b}{d}t,y_0-\frac{a}{d}t\)，\(d=\gcd(a,b)\)。
\(\mathcal{Code}\)
void exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
if(!b) { x = 1, y = 0; return ; }
exgcd(b, a % b, x, y);
int nx = y, ny = x - (a / b) * y;
x = nx, y = ny;
}
后记
这样最基础的 exgcd 就到这里了，如果想进一步理解更深层的 exgcd，推荐阅读:
