「学习笔记」极度精简好理解的exgcd

前言

本文通过尽量短，通俗易懂的形式帮助大家理解最简单的 exgcd。

前置知识：

裴蜀定理：

$$ax+by=c,x\in \mathbb{Z}^*,y\in \mathbb{Z}^*有解的充要条件是\gcd (a,b)|c$$

欧几里得算法（辗转相除法）

$$\gcd(a,b)=\gcd(b,a\bmod b)\ \ \ (b\neq 0)$$

模运算的本质:

$$a\bmod b = a - \left\lfloor \frac{a}{b}\right\rfloor b$$

其中 $\left\lfloor \frac{a}{b}\right\rfloor$ 指的是 $\frac{a}{b}$ 下取整。

正片：

exgcd，扩展欧几里得，扩欧，是求下面这个不定方程解的方法:

$$ax+by=\gcd(a,b)$$

把后面的 $\gcd(a,b)$ 辗转相除一下再写成类似的形式（这里的 $x',y'$ 是对应 $\gcd(b,a\bmod b)$ 的 $x,y$，和上面的 $x,y$ 没有关系）：

$$bx'+(a\bmod b)y'=\gcd(b,a\bmod b)$$

$$ax+by=\gcd(a,b)=\gcd(b,a\bmod b)=bx'+(a-\left\lfloor\frac{a}{b}\right\rfloor b)y'$$

$$ax+by=bx'+(a-\left\lfloor\frac{a}{b}\right\rfloor b)y'$$

因为要求解 $x,y$，所以假设我们已经求解了 $x',y'$，则要按 $a,b$ 把两个方程分开，然后就可以递归求解了。（貌似没有为什么，就是这么处理然后是可以递归求解的）

$$ax+by=ay'+b(x'-\left\lfloor \frac{a}{b}\right\rfloor y')$$

解出 $x,y$ 就要求解 $x'y'$，注意求解 $x'y'$ 的时候，他们对应的 $a,b$ 实际上是原先 $x,y$ 的 $a,b$ 的 $b,a\bmod b$。

递归就能求出 $ax+by=\gcd(a,b)$ 一组特解了，最后当 $b=0$ 的时候递归终止，此时 $ax+by=\gcd(a,b)$ 的解显然是 $x=1,y=0$ （ $0$ 和非零数的 $\gcd$ 仍为那个数本身）。

扩展欧几里得算法得到的特解一定有 $|x|\leq a, |y|\leq b$。

设解出的特解为 $x_0,y_0$，则通解为 $x_0+\frac{b}{d}t,y_0-\frac{a}{d}t$，$d=\gcd(a,b)$。

$\mathcal{Code}$

void exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
	if(!b) { x = 1, y = 0; return ; }
	exgcd(b, a % b, x, y);
	int nx = y, ny = x - (a / b) * y;
	x = nx, y = ny;
}

后记

这样最基础的 exgcd 就到这里了，如果想进一步理解更深层的 exgcd，推荐阅读:

洛谷日报#288 [_Leaving]同余方程-5天从入门到入土

本文参考文章