Luogu P3985 不开心的金明

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Solution

简单来说就是01背包问题，但是物品最大数量为 \(100\), 物品重量和价值都 \(\leq 10^9\)，但是保证极差（最大值减最小值） \(\leq 3\)。

机房大佬给我说了这个题想了一下就胡出来做法了，但是一开始写挂了233333

先把所有的重量都减去它们的最小值，则剩下的重量一定都 \(\leq 3\)。剩下就比较简单了。

\(w[i]\) 表示第 \(i\) 个物品的重量（减去最小值）， \(v[i]\) 表示第 \(i\) 个物品的质量， 计 \(minn\) 为原先重量的最小值。

设 \(f[i][j]\) 为选 \(i\) 个物品，重量为 \(j\) (已经减去重量的最小值)的最大价值。

对于选第 \(i\) 个物品对这个进行更新，有：

\[f[j][k]=\max{f[j-1][k-w[i]]+v[i]}\ \ \ (j*minn+k\leq m,w[i]\leq k \leq j*3) \]

因为为01背包，所以 \(j\) 和 \(k\) 都是倒序循环。

感性理解一下，\(j\) 代表选择了几个物品，\(k\) 代表选择的 \(\sum w[l]\) 的值，此时此刻的答案。

\(j*minn+k\leq m\) 就是满足选出的物品在背包容量内，\(w[i]\leq k \leq j*3\) 这里的范围是 \(k\) 所有可能的取值，因为 \(\max\{\sum{w[l]}\}=j*3\) 就是 \(w\)全都是 \(3\) 的情况，\(\min\{\sum{w[l]}\}=w[i]\) 就是前面 \(w\) 全是 \(0\) 的情况。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define int long long
inline int Max(int x, int y) { return x > y ? x : y; }
inline int Min(int x, int y) { return x < y ? x : y; }
inline int read() {
	int r = 0; bool w = 0; char ch = getchar();
	while(ch < '0' || ch > '9') {
		if(ch == '-') w = 1;
		ch = getchar();
	}
	while(ch >= '0' && ch <= '9') {
		r = (r << 3) + (r << 1) + (ch ^ 48);
		ch = getchar();
	}
	return w ? ~r + 1 : r;
}
#undef int
const int N = 1100;
const int W = 3300;
const ll INF = 0x7fffffffffffffff;
int n, m;
ll w[N], v[N], minn = INF;
ll f[N][W], ans;
int main() {
	n = read(); m = read();
	for(int i = 1; i <= n; ++i) w[i] = read(), v[i] = read(), minn = Min(minn, w[i]);
	for(int i = 1; i <= n; ++i) w[i] -= minn;
	for(int i = 1; i <= n; ++i) {
		for(int j = n; j >= 1; --j)
			for(int k = j * 3; k >= w[i]; --k) {
				if(j * minn + k <= m) f[j][k] = Max(f[j][k], f[j - 1][k - w[i]] + v[i]);
				ans = Max(ans, f[j][k]);
			}
	}
	printf("%lld\n", ans);
	return 0;
}