最长公共上升子序列（LCIS问题）

题目描述

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Codeforces 10D LCIS

给定一个长度为 $n$ 的序列 $a$，一个长度为 $m$ 的序列 $b$，求他们的最长的公共上升子序列的长度。

题目分析

考虑状态设置为最长公共子序列和最长上升子序列的状态"合并"在一起的状态。

设 $f[i][j]$ 为 $a$ 前 $i$ 个和 $b$ 前 $j$ 个匹配的最长公共上升子序列以 $b[j]$ 结尾的长度。（其实这里设置成 $a[i]$ 结尾也可以，只不过为了后面好转移设的是 $b[j]$）

转移方程就很好推了:

$$f[i][j]=\max\begin{cases}f[i-1][j]\ \ (a[i]\neq b[j])\\ \max\{f[i-1][k]\ \ (1\leq k<j\&\&b[k]<b[j])\}+1\ \ (a[i]==b[j])\end{cases}$$

感性理解一下：

如果 $a[i]\neq b[j]$ ，则这里转移一定要从 $f[k][j]\ (1\leq k<j)$ 的最大值转移而来，因为结尾必须是 $b[j]$，所以第二维一定是 $j$，第一维的 $k$ 显然取 $i-1$ 最优，因为前 $(i-1)$ 的 $a$ 一定不如前 $i$ 的 $a$ 匹配的结果更优。

如果 $a[i]==b[j]$，则从前面选一个 $f[l][k]$ 来转移，同上这里 $l$ 取 $i-1$ 最优，也就是对于一个 $f[i-1][k]$，如果 $b[k]<b[j]$，则这个 $b[j]$ 是可以从这个 $b[k]$ 接上来的，但是 $k$ 在 $j$ 前面有很多取值，所以要全部遍历一遍取值。

注: 以下复杂度默认 $n,m$ 同阶。

这样的暴力转移是 $\mathcal{O}(n^3)$ 的，考虑优化:

首先因为 $a[i]==b[j]$，所以里面那个 $\max$ 可以写成这个形式

$$\max\{f[i-1][k]\ \ (1\leq k<j\&\&b[k]<a[i])\}+1\ \ (a[i]==b[j])$$

这样就好办了，先枚举 $i$ 在枚举 $j$ ，在枚举 $j$ 的过程中动态更新每一个 $\max$ 的值，就可以做到 $\mathcal{O}(n^2)$ 更新。

具体地：如果枚举到的 $b[j]<a[i]$，则为后面的 $j$ 更新 $\max\{f[i-1][k]\ \ (1\leq k<j\&\&b[k]<a[i])\}$，转移的时候直接使用即可。

值得注意的是，转移方程只用到了 $f[i]$ 和 $f[i-1]$，显然 $i$ 这一维可以滚动数组，空间复杂度优化到 $\mathcal{O}(n)$。

$\mathcal{Code}$

ACWing

#include<iostream>
#include<cstdio>
inline int Max(int x, int y) { return x > y ? x : y; }
inline int read() {
	int r = 0; bool w = 0; char ch = getchar();
	while(ch < '0' || ch > '9') {
		if(ch == '-') w = 1;
		ch = getchar();
	}
	while(ch >= '0' && ch <= '9') {
		r = (r << 3) + (r << 1) + (ch ^ 48);
		ch = getchar();
	}
	return w ? ~r + 1 : r;
}
const int N = 3010; 
int n, m, ans;
int a[N], b[N], f[2][N];
signed main() {
	n = m = read();
	for(int i = 1; i <= n; ++i)
		a[i] = read();
	for(int i = 1; i <= m; ++i)
		b[i] = read();
	for(int i = 1; i <= n; ++i) {
		int maxx = 0;
		for(int j = 1; j <= m; ++j) {
			if(a[i] == b[j]) f[i&1][j] = maxx + 1;
			else f[i&1][j] = f[!(i&1)][j];
			if(a[i] > b[j]) maxx = Max(maxx, f[!(i&1)][j]);
		}
	}
	for(int i = 1; i <= m; ++i)
		ans = Max(ans, f[n&1][i]);
	printf("%d\n", ans);
	return 0; 
}

后两道题还需要再记录路径，这部分的思考留给读者。