最长公共上升子序列（LCIS问题）
题目描述
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Codeforces 10D LCIS
给定一个长度为 \(n\) 的序列 \(a\)，一个长度为 \(m\) 的序列 \(b\)，求他们的最长的公共上升子序列的长度。
题目分析
考虑状态设置为最长公共子序列和最长上升子序列的状态"合并"在一起的状态。
设 \(f[i][j]\) 为 \(a\) 前 \(i\) 个和 \(b\) 前 \(j\) 个匹配的最长公共上升子序列以 \(b[j]\) 结尾的长度。（其实这里设置成 \(a[i]\) 结尾也可以，只不过为了后面好转移设的是 \(b[j]\)）
转移方程就很好推了:
感性理解一下：
如果 \(a[i]\neq b[j]\) ，则这里转移一定要从 \(f[k][j]\ (1\leq k<j)\) 的最大值转移而来，因为结尾必须是 \(b[j]\)，所以第二维一定是 \(j\)，第一维的 \(k\) 显然取 \(i-1\) 最优，因为前 \((i-1)\) 的 \(a\) 一定不如前 \(i\) 的 \(a\) 匹配的结果更优。
如果 \(a[i]==b[j]\)，则从前面选一个 \(f[l][k]\) 来转移，同上这里 \(l\) 取 \(i-1\) 最优，也就是对于一个 \(f[i-1][k]\)，如果 \(b[k]<b[j]\)，则这个 \(b[j]\) 是可以从这个 \(b[k]\) 接上来的，但是 \(k\) 在 \(j\) 前面有很多取值，所以要全部遍历一遍取值。
注: 以下复杂度默认 \(n,m\) 同阶。
这样的暴力转移是 \(\mathcal{O}(n^3)\) 的，考虑优化:
首先因为 \(a[i]==b[j]\)，所以里面那个 \(\max\) 可以写成这个形式
这样就好办了，先枚举 \(i\) 在枚举 \(j\) ，在枚举 \(j\) 的过程中动态更新每一个 \(\max\) 的值，就可以做到 \(\mathcal{O}(n^2)\) 更新。
具体地：如果枚举到的 \(b[j]<a[i]\)，则为后面的 \(j\) 更新 \(\max\{f[i-1][k]\ \ (1\leq k<j\&\&b[k]<a[i])\}\)，转移的时候直接使用即可。
值得注意的是，转移方程只用到了 \(f[i]\) 和 \(f[i-1]\)，显然 \(i\) 这一维可以滚动数组，空间复杂度优化到 \(\mathcal{O}(n)\)。
\(\mathcal{Code}\)
ACWing
#include<iostream>
#include<cstdio>
inline int Max(int x, int y) { return x > y ? x : y; }
inline int read() {
int r = 0; bool w = 0; char ch = getchar();
while(ch < '0' || ch > '9') {
if(ch == '-') w = 1;
ch = getchar();
}
while(ch >= '0' && ch <= '9') {
r = (r << 3) + (r << 1) + (ch ^ 48);
ch = getchar();
}
return w ? ~r + 1 : r;
}
const int N = 3010;
int n, m, ans;
int a[N], b[N], f[2][N];
signed main() {
n = m = read();
for(int i = 1; i <= n; ++i)
a[i] = read();
for(int i = 1; i <= m; ++i)
b[i] = read();
for(int i = 1; i <= n; ++i) {
int maxx = 0;
for(int j = 1; j <= m; ++j) {
if(a[i] == b[j]) f[i&1][j] = maxx + 1;
else f[i&1][j] = f[!(i&1)][j];
if(a[i] > b[j]) maxx = Max(maxx, f[!(i&1)][j]);
}
}
for(int i = 1; i <= m; ++i)
ans = Max(ans, f[n&1][i]);
printf("%d\n", ans);
return 0;
}
后两道题还需要再记录路径，这部分的思考留给读者。
