Luogu P1441 砝码称重

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题意: 现有 \(n\) 个砝码，重量分别为 \(a_i\) ​ ，在去掉 \(m\) 个砝码后，问最多能称量出多少不同的重量（不包括 \(0\)）。 请注意，砝码只能放在其中一边。

\(n\leq20,m\leq 4,m<n,a_i\leq 100\)

题目分析: 看到 \(n,m\) 的范围果断爆搜/状压，而对于当前的状态，计算称量出有多少种重量实际为01背包问题，也就是枚举到一个状态后01背包。

这里01背包我用了bitset优化，时间复杂度默认为 \(\mathcal{O}(\frac{n}{w})\) （具体含义见 wiki )

算法一: 迭代加深搜索+记忆化 \(\mathcal{O}(C_n^mn\frac{\sum a_i}{w}))\)

考虑枚举去掉哪个砝码，也就是 \(m\) 个 \(n\) 为上界的 for 循环，但是这里 \(m\) 是给定的，可以进行迭代加深搜索。

记录 \(now\) 为当前状压的状态， \(h\) 为删掉了几个数，如果 \(h\) 为 \(0\) 就01背包，否则找到一个没有删掉的砝码，删掉并且往下搜索，假设删掉了\(i\)，则有 \(now\) 中把 \(i\) 标记,\(h\) 变成 \(h-1\) 后继续搜索。

核心代码:

int a[N];
bool f[1050000];
std::bitset<20010>vis;
void dfs(int now, int h) {
	if(f[now]) return ;
	f[now] = 1;
	if(h == 0) {
		vis.reset();
		vis |= 1;//空位一种可以转移走的状态 
		for(int i = 1; i <= n; ++i) {
			if((1 << i - 1) & now)
				vis |= vis << a[i];
		}
		ans = Max(ans, vis.count() - 1);//去掉空的状态，所以要-1 
	}
	else {
		for(int i = 1; i <= n; ++i)
			if((1 << i - 1) & now)
				dfs(now - (1 << i - 1), h - 1);
	}
}

算法二: 状压 \(\mathcal{O}(C_n^mn\frac{\sum a_i}{w})\)

枚举每一种选的状态（不管合不合法），通过计算该状态中 \(1\) 的数量（也就是砝码的数量）来判断合不合法，如果合法就01背包计算。

核心代码

inline int lowbit(int x) { return x & (-x); }//最后一位二进制数 
bool check(int x) {//判断是否有n-m个1 
	int cnt = 0;
	while(x) {
		++cnt;
		x -= lowbit(x);
		if(cnt > n - m) return 0;
	}
	return cnt == n - m;
}
int main() {
	n = read(); m = read();
	for(int i = 1; i <= n; ++i) a[i] = read();
	for(int i = 0; i <= (1 << n) - 1; ++i) {
		if(!check(i)) continue;
		vis &= 0; vis |= 1;
		for(int j = 1; j <= n; ++j)
			if(i & (1 << j - 1))
				vis |= vis << a[j];
		ans = Max(ans, vis.count() - 1);
	}
	printf("%d\n", ans);
	return 0;
}