「学习笔记」浅析BST二叉搜索树
2020-11-12 update：修了一操作的锅
Q: 学习二叉搜索树有什么用？
A: 我们平常所说的"平衡树"（伸展树Splay，替罪羊树等）实际上都属于"平衡二叉搜索树"，也就是既满足"平衡树"又满足"二叉搜索树"。二叉搜索树的效率比平衡二叉搜索树的效率低很多，但是在学习平衡二叉搜索树之前也要理解二叉搜索树的实现原理，此文就是来帮助理解的。
Q: 需要背过代码吗？
A: 不需要，相比背过二叉搜索树，不如多学一两个平衡树。
暴力BST最坏时间复杂度是 \(\mathcal{O(n^2)}\)。
BST就是二叉搜索树，这里讲的是最普通的BST。
BST（Binary Search Tree），二叉搜索树，又叫二叉排序树
是一棵空树或具有以下几种性质的树:
-
若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值
-
若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值
-
左、右子树也分别为二叉排序树
-
没有权值相等的结点。
看到第4条，我们会有一个疑问，在数据中遇到多个相等的数该怎么办呢，显然我们可以多加一个计数器，就是当前这个值出现了几遍。
那么我们的每一个节点都包含以下几个信息:
-
当前节点的权值，也就是序列里的数
-
左孩子的下标和右孩子的下标，如果没有则为0
-
计数器，代表当前的值出现了几遍
-
子树大小和自己的大小的和
至于为什么要有4.我们放到后面讲。
节点是这样的:
struct node{
int val,ls,rs,cnt,siz;
}tree[500010];
其中 \(val\) 是权值，\(ls\) / \(rs\) 是左/右 孩子的下标，\(cnt\) 是当前的权值出现了几次，\(siz\) 是子树大小和自己的大小的和。
以下均以递归方式呈现。
插入:
\(x\) 是当前节点的下标，\(v\) 是要插入的值。要在树上插入一个 \(v\) 的值，就要找到一个合适 \(v\) 的位置，如果本身树的节点内有代表 \(v\) 的值的节点，就把该节点的计数器加 \(1\) ，否则一直向下寻找，直到找到叶子节点，这个时候就可以从这个叶子节点连出一个儿子，代表 \(v\) 的节点。具体向下寻找该走左儿子还是右儿子是根据二叉搜索树的性质来的。
void add(int x,int v)
{
tree[x].siz++;
//如果查到这个节点，说明这个节点的子树里面肯定是有v的，所以siz++
if(tree[x].val==v){
//如果恰好有重复的数，就把cnt++，退出即可，因为我们要满足第四条性质
tree[x].cnt++;
return ;
}
if(tree[x].val>v){//如果v<tree[x].val，说明v实在x的左子树里
if(tree[x].ls!=0)
add(tree[x].ls,v);//如果x有左子树，就去x的左子树
else{//如果不是，v就是x的左子树的权值
cont++;//cont是目前BST一共有几个节点
tree[cont].val=v;
tree[cont].siz=tree[cont].cnt=1;
tree[x].ls=cont;
}
}
else{//右子树同理
if(tree[x].rs!=0)
add(tree[x].rs,v);
else{
cont++;
tree[cont].val=v;
tree[cont].siz=tree[cont].cnt=1;
tree[x].rs=cont;
}
}
}
找前驱:
\(x\) 是当前的节点的下标，\(val\) 是要找前驱的值，\(ans\) 是目前找到的比 \(val\) 小的数的最大值。
找前驱的方法也是不断的在树上向下爬找具体节点，具体爬的方法可以参考代码注释部分。
int queryfr(int x, int val, int ans) {
if (tree[x].val>=val)
{//如果当前值大于val，就说明查的数大了，所以要往左子树找
if (tree[x].ls==0)//如果没有左子树就直接返回找到的ans
return ans;
else//如果不是的话，去查左子树
return queryfr(tree[x].ls,val,ans);
}
else
{//如果当前值小于val，就说明我们找比val小的了
if (tree[x].rs==0)//如果没有右孩子，就返回tree[x].val，因为走到这一步时，我们后找到的一定比先找到的大(参考第二条性质)
return (tree[x].val<val) ? tree[x].val : ans
//如果有右孩子，，我们还要找这个节点的右子树，因为万一右子树有比当前节点还大并且小于要找的val的话，ans需要更新
if (tree[x].cnt!=0)//如果当前节数的个数不为0，ans就可以更新为tree[x].val
return queryfr(tree[x].rs,val,tree[x].val);
else//反之ans不需要更新
return queryfr(tree[x].rs,val,ans);
}
}
找后继
与找前驱同理，只不过反过来了，在这里我就不多赘述了。
int queryne(int x, int val, int ans) {
if (tree[x].val<=val)
{
if (tree[x].rs==0)
return ans;
else
return queryne(tree[x].rs,val,ans);
}
else
{
if (tree[x].ls==0)
return (tree[x].val>val)? tree[x].val : ans;
if (tree[x].cnt!=0)
return queryne(tree[x].ls,val,tree[x].val);
else
return queryne(tree[x].ls,val,ans);
}
}
按值找排名:
这里我们就要用到 \(siz\) 了，排名就是比这个值要小的数的个数再 \(+1\)，所以我们按值找排名，就可以看做找比这个值小的数的个数，最后加上 \(1\) 即可。
int queryval(int x,int val)
{
if(x==0) return 0;//没有排名
if(val==tree[x].val) return tree[tree[x].ls].siz;
//如果当前节点值=val，则我们加上现在比val小的数的个数，也就是它左子树的大小
if(val<tree[x].val) return queryval(tree[x].ls,val);
//如果当前节点值比val大了，我们就去它的左子树找val，因为左子树的节点值一定是小的
return queryval(tree[x].rs,val)+tree[tree[x].ls].siz+tree[x].cnt;
//如果当前节点值比val小了，我们就去它的右子树找val，同时加上左子树的大小和这个节点的值出现次数
//因为这个节点的值小于val，这个节点的左子树的各个节点的值一定也小于val
}
//注:这里最终返回的是排名-1，也就是比val小的数的个数，在输出的时候记得+1
按排名找值:
因为性质1和性质2，我们发现排名为 \(n\) 的数在BST上是第 \(n\) 靠左的数。或者说排名为 \(n\) 的数的节点在BST中，它的左子树的 \(siz\) 与它的各个祖先的左子树的 \(siz\) 相加恰好 \(=n\) (这里相加是要减去重复部分)。
所以问题又转化成上一段 或者说 的后面的部分
\(rk\) 是要找的排名
int queryrk(int x,int rk)
{
if(x==0) return INF;
if(tree[tree[x].ls].siz>=rk)//如果左子树大小>=rk了，就说明答案在左子树里
return queryrk(tree[x].ls,rk);//查左子树
if(tree[tree[x].ls].siz+tree[x].cnt>=rk)//如果左子树大小加上当前的数的多少恰好>=k，说明我们找到答案了
return tree[x].val;//直接返回权值
return queryrk(tree[x].rs,rk-tree[tree[x].ls].siz-tree[x].cnt);
//否则就查右子树，同时减去当前节点的次数与左子树的大小
}
删除:
具体就是利用二叉搜索树的性质在树上向下爬找到具体节点，把计数器-1。与上文同理就不粘贴代码了
BST的弊端: 时间复杂度最坏为 \(\mathcal{O(n^2)}\) 。
看完上文，你一定理解了二叉搜索树的具体实现原理和方法，但是如果构建出的一棵BST是个链的话，时间复杂度就会退化到 \(\mathcal{O(n^2)}\) 级别，因为如果每次都查找链最低端的叶子节点的复杂度是 \(\mathcal{O(n)}\) 的。而去保持这个树是个平衡树，就可以防止出现这个错误的复杂度。这个时候就有了平常所说的平衡树。
完整版代码，仅供参考。
\(\mathcal{Code}:\)
#include<iostream>
#include<cstdio>
#define re register
using namespace std;
const int INF=0x7fffffff;
int cont;
struct node{
int val,siz,cnt,ls,rs;
}tree[1000010];
int n,opt,xx;
inline void add(int x,int v)
{
tree[x].siz++;
if(tree[x].val==v){
tree[x].cnt++;
return ;
}
if(tree[x].val>v){
if(tree[x].ls!=0)
add(tree[x].ls,v);
else{
cont++;
tree[cont].val=v;
tree[cont].siz=tree[cont].cnt=1;
tree[x].ls=cont;
}
}
else{
if(tree[x].rs!=0)
add(tree[x].rs,v);
else{
cont++;
tree[cont].val=v;
tree[cont].siz=tree[cont].cnt=1;
tree[x].rs=cont;
}
}
}
int queryfr(int x, int val, int ans) {
if (tree[x].val>=val)
{
if (tree[x].ls==0)
return ans;
else
return queryfr(tree[x].ls,val,ans);
}
else
{
if (tree[x].rs==0)
return tree[x].val;
return queryfr(tree[x].rs,val,tree[x].val);
}
}
int queryne(int x, int val, int ans) {
if (tree[x].val<=val)
{
if (tree[x].rs==0)
return ans;
else
return queryne(tree[x].rs,val,ans);
}
else
{
if (tree[x].ls==0)
return tree[x].val;
return queryne(tree[x].ls,val,tree[x].val);
}
}
int queryrk(int x,int rk)
{
if(x==0) return INF;
if(tree[tree[x].ls].siz>=rk)
return queryrk(tree[x].ls,rk);
if(tree[tree[x].ls].siz+tree[x].cnt>=rk)
return tree[x].val;
return queryrk(tree[x].rs,rk-tree[tree[x].ls].siz-tree[x].cnt);
}
int queryval(int x,int val)
{
if(x==0) return 0;
if(val==tree[x].val) return tree[tree[x].ls].siz;
if(val<tree[x].val) return queryval(tree[x].ls,val);
return queryval(tree[x].rs,val)+tree[tree[x].ls].siz+tree[x].cnt;
}
inline int read()
{
re int r=0;
re char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9')
ch=getchar();
while(ch>='0'&&ch<='9'){
r=(r<<3)+(r<<1)+(ch^48);
ch=getchar();
}
return r;
}
signed main()
{
n=read();
while(n--){
opt=read();xx=read();
if(opt==1) printf("%d\n",queryval(1,xx)+1);
else if(opt==2) printf("%d\n",queryrk(1,xx));
else if(opt==3) printf("%d\n",queryfr(1,xx,-INF));
else if(opt==4) printf("%d\n",queryne(1,xx,INF));
else{
if(cont==0){
cont++;
tree[cont].cnt=tree[cont].siz=1;
tree[cont].val=xx;
}
else add(1,xx);
}
}
return 0;
}
相信你已经掌握了二叉搜索树的基本实现方法，也可以来尝试循环实现的BST：
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
#define pb push_back
const int N = 10010;
const int INF = 0x7fffffff;
inline int read() {
int r = 0; bool w = 0; char ch = getchar();
while(ch < '0' || ch > '9') w = ch == '-' ? 1 : w, ch = getchar();
while(ch >= '0' && ch <= '9') r = (r << 3) + (r << 1) + (ch ^ 48), ch = getchar();
return w ? ~r + 1 : r;
}
#define ls tree[x].son[0]
#define rs tree[x].son[1]
struct Node {
int val, siz, cnt, son[2];
}tree[N];
int n, root, tot;
inline void add(int v) {
if(!tot) {
root = ++tot;
tree[tot].cnt = tree[tot].siz = 1;
tree[tot].son[0] = tree[tot].son[1] = 0;
tree[tot].val = v;
return ;
}
int x = root, last = 0;
do {
++tree[x].siz;
if(tree[x].val == v) {
++tree[x].cnt;
break;
}
last = x;
x = tree[last].son[v > tree[last].val];
if(!x) {
tree[last].son[v > tree[last].val] = ++tot;
tree[tot].son[0] = tree[tot].son[1] = 0;
tree[tot].val = v;
tree[tot].cnt = tree[tot].siz = 1;
break;
}
} while(true);//Code by do_while_true qwq
}
int queryfr(int val) {
int x = root, ans = -INF;
do {
if(x == 0) return ans;
if(tree[x].val >= val) {
if(ls == 0) return ans;
x = ls;
}
else {
if(rs == 0) return tree[x].val;
ans = tree[x].val;
x = rs;
}
} while(true);
}
int queryne(int v) {
int x = root, ans = INF;
do {
if(x == 0) return ans;
if(tree[x].val <= v) {
if(rs == 0) return ans;
x = rs;
}
else {
if(ls == 0) return tree[x].val;
ans = tree[x].val;
x = ls;
}
} while(true);
}
int queryrk(int rk) {
int x = root;
do {
if(x == 0) return INF;
if(tree[ls].siz >= rk) x = ls;
else if(tree[ls].siz + tree[x].cnt >= rk) return tree[x].val;
else rk -= tree[ls].siz + tree[x].cnt, x = rs;
} while(true);
}
int queryval(int v) {
int x = root, ans = 0;
do {
if(x == 0) return ans;
if(tree[x].val == v) return ans + tree[ls].siz;
else if(tree[x].val > v) x = ls;
else ans += tree[ls].siz + tree[x].cnt, x = rs;
} while(true);
}
int main() {
n = read();
while(n--) {
int opt = read(), x = read();
if(opt == 1) printf("%d\n", queryval(x) + 1);
if(opt == 2) printf("%d\n", queryrk(x));
if(opt == 3) printf("%d\n", queryfr(x));
if(opt == 4) printf("%d\n", queryne(x));
if(opt == 5) add(x);
}
return 0;
}
