笔记 - 随笔分类(第2页) - do_while_true

摘要：翻译自 https://zhuanlan.zhihu.com/p/85169630 字符串是 0-index．周期引理：对于长为

n

$n$ 的字符串

s

$s$ ，如果

p, q

$p,q$ 均为

s

$s$ 的周期，并且

p + q - gcd (p, q) \leq n

$p+q-\gcd(p,q)\leq n$ ，那么

gcd (p, q)

$\gcd(p,q)$ 也是

s

$s$ 的周期。阅读全文

posted @ 2023-08-03 20:49 do_while_true 阅读(120) 评论(0) 推荐(0) 编辑

概率

摘要：条件概率在事件

A

$A$ 发生的条件下，事件

B

$B$ 发生的概率，记作

P (B | A)

$P(B|A)$ ．条件概率公式：

P (B | A) = \frac{P (A B)}{P (A)}

$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$ 概率乘法公式：

P (A B) = P (A) P (B | A)

$P(AB)=P(A)P(B|A)$ 若

A_{1}, \dots, A_{n}

$A_1,\cdots,A_n$ 不交且并为样本空间 \( 阅读全文

posted @ 2023-06-14 11:05 do_while_true 阅读(88) 评论(1) 推荐(0) 编辑

线性规划转对偶

摘要：丁晓漫，再探线性规划对偶在信息学竞赛中的应用

max c^{T} x A x \leq b x \geq 0

$\max \mathbf{c}^T\mathbf{x} \\ \mathbf{Ax}\leq \mathbf{b} \\ \mathbf{x}\geq \mathbf{0}$ 等于 \[\min \mathbf{b}^T\mathbf{y} \\ 阅读全文

posted @ 2023-06-13 17:37 do_while_true 阅读(67) 评论(2) 推荐(0) 编辑

二次剩余

摘要：解

x^{q} \equiv p (\mod p)

$x^q\equiv p\pmod p$ 其中

q ⊥ p

$q\bot p$ ．如果知道了

a^{t} \equiv a (\mod p)

$a^t\equiv a\pmod p$ ，那么

x = a^{t / q}

$x=a^{t/q}$ ，想要让

t

$t$ 是

q

$q$ 的倍数，现在已经有了

a^{p - 1} \equiv 1 (\mod p)

$a^{p-1}\equiv 1\pmod p$ ，那么就有 $a^{(p-1)t+1}\equ 阅读全文

posted @ 2023-05-25 21:26 do_while_true 阅读(36) 评论(1) 推荐(0) 编辑

数论

摘要：莫反，欧拉反演常用结论：

μ * 1 = ϵ, φ * 1 = i d

$\mu*1=\epsilon,\varphi*1=id$ ．

μ^{2} (n) = \sum_{d^{2} | n} μ (d)

$\mu^2(n)=\sum_{d^2|n}\mu(d)$ ．

d (i j) = \sum_{x | i} \sum_{y | j} [g c d (x, y) = 1]

$d(ij)=\sum_{x|i}\sum_{y|j}[gcd(x,y)=1]$ ． \(\varphi(xy)=\frac{\varph 阅读全文

posted @ 2023-04-29 17:16 do_while_true 阅读(69) 评论(1) 推荐(0) 编辑

「学习笔记」字符串 II

摘要：前传后缀结构全都扔到一块儿 Suffix Array (SA) 对一个字符串的所有后缀进行排序，最终得到所有后缀的排名。采用基数排序，对于

k = 1, 2, . . ., \log n

$k=1,2,...,\log n$ ，每次排序只看后缀的前

2^{k}

$2^k$ 位来给后缀排序（对于一个起点如果后面不够了，补一堆最小的字符），由于上一步阅读全文

posted @ 2023-02-21 16:34 do_while_true 阅读(60) 评论(0) 推荐(1) 编辑

「学习笔记」字符串 I

摘要：约定 1-index．

| s |

$|s|$ 为字符串

s

$s$ 的长度，如果讨论中仅有一个字符串也称之为

n

$n$ ．

s [l, r]

$s[l,r]$ 表示字符串

s

$s$ 的

[l, r]

$[l,r]$ 子串。

p r e (s, r) = s [: r] = s [1, r]

$pre(s,r)=s[:r]=s[1,r]$ ，前缀．

s u f (s, l) = s [l :] = s [l, | s |]

$suf(s,l)=s[l:]=s[l,|s|]$ ，后缀．

a_{i}

$a_i$ 阅读全文

posted @ 2022-10-07 11:08 do_while_true 阅读(273) 评论(3) 推荐(8) 编辑

树上背包复杂度证明

摘要：[参考](https://blog.csdn.net/lyd_7_29/article/details/79854245) 树上背包上下界优化。考虑

v

$v$ 是

u

$u$ 的儿子，现在

f_{u}

$f_{u}$ 已经合并了若干个

v

$v$ 前面的子树，（不包含

v

$v$ 及以后的子树）其大小为

s_{x}

$s_x$ ，

v

$v$ 阅读全文

posted @ 2022-07-29 11:33 do_while_true 阅读(476) 评论(1) 推荐(4) 编辑

「学习笔记」图论基础

摘要：有些东西可能不说原理，或者干脆没有提到，有可能是太简单了没必要，也有可能是我还不会。根据我做题的经验，图论的很多结论都是要 “猜”，证明的话大部分思路是考虑反证，最终由定义或者引理导出矛盾。基本上是总结类型的，如果想要看教程的话直接看 “参考资料” 里的内容（）参考资料： OI Wiki 图论阅读全文

posted @ 2022-07-25 19:50 do_while_true 阅读(320) 评论(1) 推荐(0) 编辑

「学习笔记」区间半群信息查询

摘要：对 qwaszx 博客的抄写。半群信息可以简单理解为有结合律的信息。比方说

gcd, min, max, +, \times

$\gcd,\min,\max,+,\times$ 之类的。这一部分的东西在 OI 中没什么用，就当学个乐吧（）猫树和 Sqrt Tree 可能有些用。朴素做法

Θ (n^{2})

$\Theta(n^2)$ 预处理所有区间阅读全文

posted @ 2022-02-14 21:28 do_while_true 阅读(808) 评论(0) 推荐(0) 编辑

「学习笔记」分块，莫队，复杂度平衡

摘要：各类根号算法。不太适合当作复习所用，就当写个教程了，可能因为这个东西不大需要复习（阅读全文

posted @ 2022-01-28 07:41 do_while_true 阅读(521) 评论(0) 推荐(1) 编辑

「学习笔记」二分图和网络流

摘要：序言基本是对ix35整理内容的抄写。所以你会发现大量的重合。只有一些不偏向定义的才会用自己能更好理解的话解释出来。所以一些证明会相比其他人说明更加繁琐，不过这是写这篇文章此时的我能力内的理解，如果将来有更好的理解，能从更高的角度 / 从更简洁的语言出发，还会更新。定理和推论，构造方案相关，也阅读全文

posted @ 2021-12-20 18:53 do_while_true 阅读(267) 评论(1) 推荐(0) 编辑

最小割求最大权闭合子图

摘要：现在是几几年，怎么还在学网络流。最小割求最大权闭合子图定义有一个有向图，每一个点都有一个权值（可以为正或负或

0

$0$ ），选择一个权值和最大的子图，使得每个点的后继都在子图里面，这个子图就叫最大权闭合子图。转化成最小割问题建立超级源点

s

$s$ 和汇点

t

$t$ .

s

$s$ 向每个阅读全文

posted @ 2021-12-20 18:30 do_while_true 阅读(113) 评论(2) 推荐(1) 编辑

正睿2021十一集训笔记

该文被密码保护。

posted @ 2021-10-06 21:20 do_while_true 阅读(0) 评论(0) 推荐(0) 编辑

「学习笔记」联赛数论再学习

摘要：原来联赛是考数论的......好像很多的结论没有给证明。阅读全文

posted @ 2021-10-06 20:41 do_while_true 阅读(193) 评论(3) 推荐(2) 编辑

「学习笔记」FFT x 字符串匹配

摘要：设匹配函数

C (x, y)

$C(x,y)$ 为字符

x

$x$ 和字符

y

$y$ 匹配的值，是我们自己定义的值。两个字符串匹配的值就是对应位置上的字符匹配的值的和。对于文本串

S

$S$ 和模式串

T

$T$ ，现在要求出

T

$T$ 在

S

$S$ 中所有匹配的位置。为了化成卷积的形式，把

T

$T$ 反转。这样

T

$T$ 和 $S 阅读全文

posted @ 2021-09-23 18:29 do_while_true 阅读(186) 评论(0) 推荐(1) 编辑

「学习笔记」各类容斥反演总结

摘要：注：本篇文章是在我技艺尚不精时所写，有很多视角是过时的，而且很容易让自己搞混，请谨慎参考！一点乱记，用于个人理解和巩固，亦可作为一篇学习顺序参考的文章。如有笔误敬请指出。二项式反演组合恒等式

(\binom{n}{k}) = (\binom{n}{n - k}), n \geq 0

$\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k},n\geq 0$ ，对称恒等式。 \(k 阅读全文

posted @ 2021-08-24 19:13 do_while_true 阅读(802) 评论(1) 推荐(2) 编辑

「学习笔记」四边形不等式优化 / 决策单调性优化 dp

摘要：以前看到四边形不等式或叫决策单调性优化 dp，看到绕来绕去的式子和繁琐的证明总是望而却步。数理基础简单打一下后再来看时发现，其实模型并不复杂，证明大多较为基础，故记此文加以巩固。阅读全文

posted @ 2021-07-26 10:35 do_while_true 阅读(308) 评论(0) 推荐(0) 编辑

2021山东省队集训三轮笔记

摘要：排版可能有点乱，懒得修了。每天最开始的T1,T2,T3是模拟赛题目。 Day1 只会打爆力，爬了爬了 T1 有一个数列

a [n]

$a[n]$ 满足：

a [0] = a

$a[0]=a$

a [i] = a [i - 1] + f (i) * a [(i + b) / c]

$a[i]=a[i-1]+f(i)*a[(i+b)/c]$ 其中f(i)是一个关于i的m次多项式求

a [n]

$a[n]$ \(n 阅读全文

posted @ 2021-07-23 11:03 do_while_true 阅读(640) 评论(0) 推荐(1) 编辑

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